椭圆 $C: \frac{x^2}{m+2}+\frac{y^2}{m}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 为椭圆 $C$ 上一点, 若 $\triangle P F_1 F_2$ 的周长为 $6+2 \sqrt{2}$,则椭圆 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$