已知椭圆 $C: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 的左, 右焦点分别为 $F_1, F_2, A, B$ 两点都在 $C$ 上, 且 $A, B$ 关于坐标原点对称, 下列说法错误的是（）
$\text{A.}$ $|A B|$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ $\left|A F_1\right|+\left|B F_1\right|$ 为定值
$\text{C.}$ $C$ 的焦距是短轴长的 2 倍
$\text{D.}$ 存在点 $A$, 使得 $A F_1 \perp A F_2$
$\text{E.}$
$\text{F.}$