单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-1,3)$, 则 $|\vec{a}-2 \vec{b}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot(1+i)=2-i$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}-\frac{3}{2} i$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} i$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i$
已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$, 焦距为 $2 \sqrt{2}$, 则该椭圆的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{3}+y^2=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{9}+y^2=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{28}=1$
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_3=14, a_3=2$, 则 $a_4=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$ 或 -1
$\text{C.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{3}$ 或 1
已知 $\alpha$ 为三角形的内角, 且 $\cos \alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$, 则 $\sin \frac{\alpha}{2}=$
$\text{A.}$ $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
甲乙丙丁戊 5 名同学坐成一排参加高考调研, 若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为
$\text{A.}$ 36 种
$\text{B.}$ 48 种
$\text{C.}$ 54 种
$\text{D.}$ 64 种
已知四棱椎 $P-A B C D$ 的各顶点在同一球面上, 若 $A D=2 A B=2 B C=2 C D=4$, $\triangle P A B$ 为正三角形, 且面 $P A B \perp$ 面 $A B C D$, 则该球的表面积为
$\text{A.}$ $\frac{13}{3} \pi$
$\text{B.}$ $16 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{52}{3} \pi$
$\text{D.}$ $20 \pi$
过 $M(0, p)$ 且倾斜角为 $\alpha\left(\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\right)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C: x^2=2 p y$ 交于 $A, B$ 两点, 分别过 $A, B$ 作曲线 $C$ 的两条切线 $l_1, l_2$, 若 $l_1, l_2$ 交于 $N$, 若直线 $M N$ 的倾斜角为 $\beta$. 则 $\tan (\alpha-\beta)$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
下表是某人上班的年收入(单位: 万元)与上班年份的一组数据:
则下列命题正确的有
$\text{A.}$ 年收入的均值为 4.3
$\text{B.}$ 年收入的方差为 1.2
$\text{C.}$ 年收入的上四分位数为 5
$\text{D.}$ 若 $y$ 与 $x$ 可用回归直线方程 $\hat{y}=0.5 x+\hat{a}$ 来模拟, 则 $\hat{a}=2.3$
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x-\sin ^2 \omega x(\omega>0)$, 则下列命题正确的有
$\text{A.}$ 当 $\omega=2$ 时, $x=\frac{5}{24} \pi$ 是 $y=f(x)$ 的一条对称轴
$\text{B.}$ 若 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=2$, 且 $\left|x_1-x_2\right|_{\text {min }}=\pi$, 则 $\omega=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 存在 $\omega \in(0,1)$, 使得的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位得到的函数为偶函数
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上恰有 5 个零点, 则 $\omega$ 的范围为 $\left[2, \frac{7}{3}\right)$
已知函数 $f(x)=e^x, g(x)=-\ln x$, 则下列命题正确的有
$\text{A.}$ 若 $g(x) \geq a x$ 恒成立, 则 $a \leq-\frac{1}{e}$
$\text{B.}$ 若 $y=f(x)$ 与 $y=a x-1$ 相切, 则 $a=2 e$
$\text{C.}$ 存在实数 $a$ 使得 $y=f(x)-a x$ 和 $y=g(x)+a x$ 有相同的最小值
$\text{D.}$ 存在实数 $a$ 使得方程 $f(x)-x=a$ 与 $x+g(x)=a$ 有相同的根且所有的根构成等差数列
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知集合 $A=\left\{x \in N \mid x^2-x-2 \leq 0\right\}$, 集合 $B=\left\{x \mid x^2-(2 a+1) x+a^2+a=0\right\}$, 若 $B \subseteq A$, 则 $a=$
过 $P(1,2)$ 的直线 $l$ 被曲线 $x^2-4 x+y^2=0$ 所截得的线段长度为 $2 \sqrt{3}$, 则直线 $l$ 的方程为
在 $\triangle A B C$ 中, 设 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $b \neq c, \tan A=\sin B+\sin C$, 则以下结论正确的有
(1) $a \in\left(0, \frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$;
(2) $a \in\left(\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}, \sqrt{b c}\right)$;
(3) $a \in\left(\sqrt{b c}, \frac{b+c}{2}\right)$;
(4) $a \in\left(\frac{b+c}{2}, \sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}\right)$;
(5) $a \in\left(\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}},+\infty\right)$.
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, P$ 是线段 $A_1 B$ 上的动点.
(1) 求证: 平面 $B D D_1 B_1 \perp$ 平面 $A_1 B C_1$;
(2) $P B_1$ 与平面 $A_1 B C_1$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$, 求 $P B$ 的长.
甲和乙进行中国象棋比赛, 每局甲贏或输的概率分别为 $0.8,0.2$, 且每局比赛相互独立.
(1) 若比赛采取三局两胜制, 且乙已经赢得比赛, 则比赛需要的局数 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 为多少? (保留小数点后一位)
(2)由于甲、乙实力悬殊, 乙提出 “甲赢 5 局之前乙赢 2 局则乙胜”, 求乙胜的概率.
$f(x)=e^{x-a}(a \in R)$.
(1) 若 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处的切线经过原点, 求 $x_0$;
(2) 对任意的 $x \in[0,+\infty)$, 有 $f(x) \geq \sin x$, 求 $a$ 的取值范围.
已知双曲线 $C: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的上焦点为 $(0, \sqrt{6})$, 下顶点为 $A$, 渐近线方程是 $y= \pm \sqrt{2} x$, 直线 $y=\frac{2}{3}$ 与 $y$ 轴交于 $B$ 点, 过 $B$ 点的直线交双曲线上支于 $P, Q$ 两点, $A P, A Q$ 分别交直线 $y=\frac{2}{3}$ 于 $M, N$ 两点, $O$ 坐标原点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 求证: $M, N, O, A$ 四点共圆;
(3) 求 (2) 中的圆的半径 $\boldsymbol{r}$ 的取值范围.
给定自然数 $n$ 且 $n \geq 2$, 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 均为正数, $\sum_{i=1}^n x_i=T$ ( $T$ 为常数), $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{x_i}{T-x_i}=\frac{x_n}{T-x_n}$. 如果函数 $f(x)$ 满足: 在区间 $I$ 上恒有 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则称函数 $f(x)$为凸函数. 凸函数 $f(x)$ 具有性质: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) \geq f\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)$, .
(1) 判断 $f(x)=\frac{x}{1-x}, x \in(0,1)$ 是否为凸函数, 并证明;
(2) 设 $y_i=\frac{x_i}{T}(i=1,2, \cdots, n)$, 证明: $\frac{1}{y_n}-\frac{1}{1-y_n} \leq 1-\frac{1}{n-1}$ ；
(3) 求 $\frac{x_n}{T-x_n}$ 的最小值.