已知双曲线 $C: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的上焦点为 $(0, \sqrt{6})$, 下顶点为 $A$, 渐近线方程是 $y= \pm \sqrt{2} x$, 直线 $y=\frac{2}{3}$ 与 $y$ 轴交于 $B$ 点, 过 $B$ 点的直线交双曲线上支于 $P, Q$ 两点, $A P, A Q$ 分别交直线 $y=\frac{2}{3}$ 于 $M, N$ 两点, $O$ 坐标原点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 求证: $M, N, O, A$ 四点共圆;
(3) 求 (2) 中的圆的半径 $\boldsymbol{r}$ 的取值范围.