已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x-\sin ^2 \omega x(\omega>0)$, 则下列命题正确的有
$\text{A.}$ 当 $\omega=2$ 时, $x=\frac{5}{24} \pi$ 是 $y=f(x)$ 的一条对称轴
$\text{B.}$ 若 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=2$, 且 $\left|x_1-x_2\right|_{\text {min }}=\pi$, 则 $\omega=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 存在 $\omega \in(0,1)$, 使得的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位得到的函数为偶函数
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上恰有 5 个零点, 则 $\omega$ 的范围为 $\left[2, \frac{7}{3}\right)$