给定自然数 $n$ 且 $n \geq 2$, 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 均为正数, $\sum_{i=1}^n x_i=T$ ( $T$ 为常数), $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{x_i}{T-x_i}=\frac{x_n}{T-x_n}$. 如果函数 $f(x)$ 满足: 在区间 $I$ 上恒有 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则称函数 $f(x)$为凸函数. 凸函数 $f(x)$ 具有性质: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) \geq f\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)$, .
(1) 判断 $f(x)=\frac{x}{1-x}, x \in(0,1)$ 是否为凸函数, 并证明;
(2) 设 $y_i=\frac{x_i}{T}(i=1,2, \cdots, n)$, 证明: $\frac{1}{y_n}-\frac{1}{1-y_n} \leq 1-\frac{1}{n-1}$ ；
(3) 求 $\frac{x_n}{T-x_n}$ 的最小值.