2023年新高考真题天津数学高考真题及答案

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2023年新高考真题天津数学高考真题及答案

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {1, 2, 4}

, 则

C_{U} B \cup A =

A.

{1, 3, 5}

B.

{1, 3}

C.

{1, 2, 4}

D.

{1, 2, 4, 5}

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2. “

a^{2} = b^{2}

" 是“

a^{2} + b^{2} = 2 a b

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分又不必要条件

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3. 若

a = {1.01}^{0.5}, b = {1.01}^{0.6}, c = {0.6}^{0.5}

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

c > a > b

B.

c > b > a

C.

a > b > c

D.

b > a > c

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4. 函数

f (x)

的图象如下图所示, 则

f (x)

的解析式可能为

A.

\frac{5 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}

B.

\frac{5 \sin x}{x^{2} + 1}

C.

\frac{5 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}

D.

\frac{5 \cos x}{x^{2} + 1}

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5. 已知函数

f (x)

的一条对称轴为直线

x = 2

, 一个周期为 4 , 则

f (x)

的解析式可能为

A.

\sin (\frac{π}{2} x)

B.

\cos (\frac{π}{2} x)

C.

\sin (\frac{π}{4} x)

D.

\cos (\frac{π}{4} x)

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6. 已知

{a_{n}}

为等比数列,

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和,

a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2

, 则

a_{4}

的值为

A.

B.

C.

D.

152

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7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是

A.

花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.

花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.

花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.

若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

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8. 在三棱雉

P - A B C

中, 线段

P C

上的点

M

满足

P M = \frac{1}{3} P C

, 线段

P B

上的点

N

满足

P N = \frac{2}{3} P B

, 则三棱雉

P - A M N

和三棱雉

P - A B C

的体积之比为

A.

\frac{1}{9}

B.

\frac{2}{9}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{4}{9}

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9. 双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1} 、 F_{2}

. 过

F_{2}

作其中一条渐近线的垂线, 垂足为

P

. 已知

P F_{2} = 2

, 直线

P F_{1}

的斜率为

\frac{\sqrt{2}}{4}

, 则双曲线的方程为

A.

\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1

B.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1

C.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1

D.

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 已知

i

是虚数单位, 化简

\frac{5 + 14 i}{2 + 3 i}

的结果为

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11. 在

{(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{6}

的展开式中,

x^{2}

项的系数为

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12. 过原点的一条直线与圆

C : (x + 2)^{2} + y^{2} = 3

相切, 交曲线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

于点

P

, 若

| O P | = 8

, 则

p

的值为

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13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球, 其总数之比为

5 : 4 : 6

. 这三个盒子中黑球占总数的比例分别为

40 %, 25 %, 50 %

. 现从三个盒子中各取一个球, 取到的三个球都是黑球的概率为 ________ ; 将三个盒子混合后任取一个球, 是白球的概率为 ________

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14. 在

△ A B C

中,

∠ A = 60^{\circ}, B C = 1

, 点

D

为

A B

的中点, 点

E

为

C D

的中点, 若设

A B = a, A C =

\vec{b}

, 则

A E

可用

\vec{a}, \vec{b}

表示为 ; 若

\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}

, 则

A E \cdot A F

的最大值为

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15. 若函数

f (x) = a x^{2} - 2 x - | x^{2} - a x + 1 |

有且仅有两个零点, 则

a

的取值范围为

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分別是

a, b, c

. 已知

a = \sqrt{39}, b = 2, ∠ A = 120^{\circ}

.
(1) 求

\sin B

的值;
(2) 求

c

的值;
(3) 求

\sin (B - C)

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17. 三棱台

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中, 若

A_{1} A ⊥

面

A B C, A B ⊥ A C, A B = A C = A A_{1} = 2, A_{1} C_{1} = 1

M, N

分别是

B C, B A

中点.
(1) 求证:

A_{1} N / /

平面

C_{1} M A

;
(2) 求平面

C_{1} M A

与平面

A C C_{1} A_{1}

所成夹角的余弦值;

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18. 设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左右顶点分别为

A_{1}, A_{2}

, 右焦点为

F

, 已知

| A_{1} F | = 3, | A_{2} F | = 1

.
(1) 求椭圆方程及其离心率;
(2) 已知点

P

是椭圆上一动点 (不与端点重合), 直线

A_{2} P

交

y

轴于点

Q

, 若三角形

A_{1} P Q

的面积是三角形

A_{2} F P

面积的二倍, 求直线

A_{2} P

的方程.

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19. 已知

{a_{n}}

是等差数列,

a_{2} + a_{5} = 16, a_{5} - a_{3} = 4

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式和

\sum_{i = 2^{n - 1}}^{2^{n} - 1} a_{i}

.
(2) 已知

{b_{n}}

为等比数列, 对于任意

k \in N^{*}

, 若

2^{k - 1} \leq n \leq 2^{k} - 1

, 则

b_{k} < a_{n} < b_{k + 1}

,
(I) 当

k \geq 2

时, 求证:

2^{k} - 1 < b_{k} < 2^{k} + 1

;
(II) 求

{b_{n}}

的通项公式及其前

n

项和.

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20. 已知函数

f (x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) \ln (x + 1)

.
(1) 求曲线

y = f (x)

在

x = 2

处切线的斜率;
（2）当

x > 0

时, 证明:

f (x) > 1

;
(3) 证明:

\frac{5}{6} < \ln (n!) - (n + \frac{1}{2}) \ln (n) + n \leq 1

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