单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $U=\{1,2,3,4,5\}, A=\{1,3\}, B=\{1,2,4\}$, 则$C_U B \cup A=$
$\text{A.}$ $\{1,3,5\}$
$\text{B.}$ $\{1,3\}$
$\text{C.}$ $\{1,2,4\}$
$\text{D.}$ $\{1,2,4,5\}$
“ $a^2=b^2$ " 是“ $a^2+b^2=2 a b$ ”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分又不必要条件
若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $c>a>b$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $a>b>c$
$\text{D.}$ $b>a>c$
函数 $f(x)$ 的图象如下图所示, 则 $f(x)$ 的解析式可能为
$\text{A.}$ $\frac{5\left(e^x-e^{-x}\right)}{x^2+2}$
$\text{B.}$ $\frac{5 \sin x}{x^2+1}$
$\text{C.}$ $\frac{5\left(e^x+e^{-x}\right)}{x^2+2}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \cos x}{x^2+1}$
已知函数 $f(x)$ 的一条对称轴为直线 $x=2$, 一个周期为 4 , 则 $f(x)$ 的解析式可能为
$\text{A.}$ $\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right)$
$\text{B.}$ $\cos \left(\frac{\pi}{2} x\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(\frac{\pi}{4} x\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(\frac{\pi}{4} x\right)$
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $a_{n+1}=2 S_n+2$, 则 $a_4$ 的值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 18
$\text{C.}$ 54
$\text{D.}$ 152
调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 花瓣长度和花萼长度没有相关性
$\text{B.}$ 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
$\text{C.}$ 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
$\text{D.}$ 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
在三棱雉 $P-A B C$ 中, 线段 $P C$ 上的点 $M$ 满足 $P M=\frac{1}{3} P C$, 线段 $P B$ 上的点 $N$ 满足 $P N=\frac{2}{3} P B$, 则三棱雉 $P-A M N$ 和三棱雉 $P-A B C$ 的体积之比为
$\text{A.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{9}$
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$. 过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线, 垂 足为 $P$. 已知 $P F_2=2$, 直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$, 则双曲线的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\mathrm{i}$ 是虚数单位, 化简 $\frac{5+14 \mathrm{i}}{2+3 \mathrm{i}}$ 的结果为
在 $\left(2 x^3-\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式中, $x^2$ 项的系数为
过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^2+y^2=3$ 相切, 交曲线 $y^2=2 p x(p>0)$ 于点 $P$, 若 $|O P|=8$, 则 $p$ 的值为
甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球, 其总数之比为 $5: 4: 6$. 这三个盒子中黑球占 总数的比例分别为 $40 \%, 25 \%, 50 \%$. 现从三个盒子中各取一个球, 取到的三个球都是黑球 的概率为 ________ ; 将三个盒子混合后任取一个球, 是白球的概率为 ________
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=60^{\circ}, B C=1$, 点 $D$ 为 $A B$ 的中点, 点 $E$ 为 $C D$ 的中点, 若设 $A B=a, A C=$ $\vec{b}$, 则 $A E$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为 ; 若 $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$, 则 $A E \cdot A F$ 的最大值为
若函数 $f(x)=a x^2-2 x-\left|x^2-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点, 则 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分別是 $a, b, c$. 已知 $a=\sqrt{39}, b=2, \angle A=120^{\circ}$.
(1) 求 $\sin B$ 的值;
(2) 求 $c$ 的值;
(3) 求 $\sin (B-C)$.
三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $A_1 A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_1=2, A_1 C_1=1$, $M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点.
(1) 求证: $A_1 N / /$ 平面 $C_1 M A$;
(2) 求平面 $C_1 M A$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成夹角的余弦值;
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_1, A_2$, 右焦点为 $F$, 已知 $\left|A_1 F\right|=3,\left|A_2 F\right|=1$.
(1) 求椭圆方程及其离心率;
(2) 已知点 $P$ 是椭圆上一动点 (不与端点重合), 直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$, 若三角形 $A_1 P Q$ 的 面积是三角形 $A_2 F P$ 面积的二倍, 求直线 $A_2 P$ 的方程.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $a_2+a_5=16, a_5-a_3=4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$.
(2) 已知 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 对于任意 $k \in N^*$, 若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^k-1$, 则 $b_k < a_n < b_{k+1}$,
(I) 当 $k \geq 2$ 时, 求证: $2^k-1 < b_k < 2^k+1$;
(II) 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和.
已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率;
（2）当 $x>0$ 时, 证明: $f(x)>1$;
(3) 证明: $\frac{5}{6} < \ln (n !)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$.