已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $a_2+a_5=16, a_5-a_3=4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$.
(2) 已知 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 对于任意 $k \in N^*$, 若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^k-1$, 则 $b_k < a_n < b_{k+1}$,
(I) 当 $k \geq 2$ 时, 求证: $2^k-1 < b_k < 2^k+1$;
(II) 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和.