单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $R , f(x+1)$ 是奇函数，且 $f(1-x)+g(x)=2, f(x)+g(x-3)=2$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 为奇函数
$\text{B.}$ $g(x)$ 为奇函数
$\text{C.}$ $\sum_{k=1}^{20} f(k)=40$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{20} g(k)=40$
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f(x)-g(1+x)=2, g(x)+f(3-x)=4$ ，若 $g(x)$ 为偶函数．$f(3)=1$ ，则 $\sum_{k=1}^{28} g(k)=(\quad)$
$\text{A.}$ 24
$\text{B.}$ 26
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 30
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f(x)-g(2-x)=-5, g(x)+f(x+2)=3$ ．若 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，且 $f(3)=-3$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} g(k)=(\quad)$
$\text{A.}$ 80
$\text{B.}$ 86
$\text{C.}$ 90
$\text{D.}$ 96
$y=f(x)$ 的定义域为 $R , y=f(x+2)$ 为偶函数，$f(2)=1$ 且 $f(x)=g(2 x)-g(4-2 x)$ ，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $y=f(x)$ 的图象关于 $(1,0)$ 对称
$\text{B.}$ $y=f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称
$\text{C.}$ 4 为 $y=f(x)$ 的周期
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{22} f(k)=0$
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $R , f(x)$ 为偶函数，且 $f(x)+g(2-x)=1, g(x)-f(x-4)=3$ ，下列说法正确的有（ ）
$\text{A.}$ 函数 $g(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的图象关于 $(-1,-2)$ 对称
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 是以 4 为周期的周期函数
$\text{D.}$ 函数 $g(x)$ 是以 6 为周期的周期函数
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $R , f(x)=f(-4-x)$ ，且 $f^{\prime}(x-1)$ 是偶函数，$f(-1)=1$ ， $f(-2)=3$ ，则 $\sum_{k=1}^{2023} f(k)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2022
$\text{B.}$ 2023
$\text{C.}$ 2024
$\text{D.}$ 2025
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 定义域均为 $R , f^{\prime}(x)$ 为奇函数，$f(x+1)+f^{\prime}(x-3)=2$ ， $f(-x+3)=-f^{\prime}(-x+3)$ ，则正确的有（ ）
（1）$f(2020)=0$ ；
（2）$f^{\prime}(2020)=0$ ；
（3）$f(2022)=1$ ；
（4）$f^{\prime}(2022)=1$ ．
$\text{A.}$ （1）（4）
$\text{B.}$ （1）（2）
$\text{C.}$ （2）（3）
$\text{D.}$ （3）（4）
设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ ，若 $g(x)-f(3-x)=2, f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x-1)$ ，且 $g(x+2)$ 为奇函数，$g(1)=1$ 。现有下列四个结论：（1）$g(-1)=g(3)$ ；（2）$f(2)+f(4)=-4$ ；（3）$g(2022)=1$ ； （4）$\sum_{k=1}^{2022} f(k)=-4043$ ．其中所有正确结论的序号是（ ）
$\text{A.}$ （1）（2）（3）
$\text{B.}$ （2）（3）（4）
$\text{C.}$ （1）（3）（4）
$\text{D.}$ （1）（2）（4）
设定义在 R 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ ．若 $f(x)-g(4-x)=2, g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x-2)$ ，且 $f(x+2)$ 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\sum_{k=1}^{2023} f(k)=0$
$\text{B.}$ $\sum_{k=1}^{2023} g(k)=0$
$\text{C.}$ $\forall x \in R , f(2+x)+f(-x)=0$
$\text{D.}$ $g(3)+g(5)=4$
设定义在实数集 R 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导数分别为 $f^{\prime}(x)$ 与 $g^{\prime}(x)$ ，若 $f(x+2)-g(1-x)=2$ ， $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x+1)$ ，且 $g(x+1)$ 为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $g(1)=0$
$\text{B.}$ $g^{\prime}(x)$ 图象关于直线 $x=2$ 对称
$\text{C.}$ $\sum_{k=1}^{2021} g(k)=0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)=0$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\left(\frac{1}{2}\right)^x+a, x \leq 0, \\ f(x-1), x>0,\end{array}\right.$ 且方程 $f(x)=x$ 恰有两解．则实数 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{1-(x-1)^2}, 0 \leq x < 2 \\ f(x-2), x \geq 2\end{array}\right.$ ，若对于正数 $k_n\left(n \in N^*\right)$ ，直线 $y=k_n x$ 与函数 $f(x)$ 的图像恰好有 $2 n+1$个不同的交点，则 $k_1^2+k_2^2+\ldots+k_n^2=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2,-1 < x \leq 1 \\ f(x-2), 1 < x < 3\end{array}\right.$ ，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线为 $l$ ，若 $\frac{1}{6} < x_0 < \frac{1}{5}$ ，则 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的公共点个数为