设定义在 R 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ ．若 $f(x)-g(4-x)=2, g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x-2)$ ，且 $f(x+2)$ 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. $\sum_{k=1}^{2023} f(k)=0$
B. $\sum_{k=1}^{2023} g(k)=0$
C. $\forall x \in R , f(2+x)+f(-x)=0$
D. $g(3)+g(5)=4$