设定义在实数集 R 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导数分别为 $f^{\prime}(x)$ 与 $g^{\prime}(x)$ ，若 $f(x+2)-g(1-x)=2$ ， $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x+1)$ ，且 $g(x+1)$ 为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
A. $g(1)=0$
B. $g^{\prime}(x)$ 图象关于直线 $x=2$ 对称
C. $\sum_{k=1}^{2021} g(k)=0$
D. $f^{\prime}(1)=0$