单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
抛物线 $x^2=-4 y$ 的焦点是
$\text{A.}$ $(-1,0)$
$\text{B.}$ $(1,0)$
$\text{C.}$ $(0,1)$
$\text{D.}$ $(0,-1)$
过 $A(\sqrt{3}, 1), B(2 \sqrt{3}, 4)$ 两点的直线的倾斜角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
已知直线 $l_1:\left(a^2-1\right) x+3 y=0$ 与直线 $l_2: x+(a+1) y+4=0$ 垂直, 则实数 $a$ 的值为
$\text{A.}$ $a=-1$
$\text{B.}$ $a=-2$
$\text{C.}$ $a=-1$ 或 $a=-2$
$\text{D.}$ 不存在
若直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 交于点 $A, B$, 线段 $A B$ 中点 $P$ 为 $(1,1)$, 则直线 $l$ 的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $-2$
已知两点 $A(-4,0), B(4,0)$, 若直线上存在点 $P$, 使得 $|P A|-|P B|=4$, 则称该直线为 “点定差直线” 下列直线中, 不是 “点定差直线” 的有
$\text{A.}$ $y=3 x+4$
$\text{B.}$ $y=-\sqrt{3} x+1$
$\text{C.}$ $y=\sqrt{2} x+1$
$\text{D.}$ $y=x+1$
已知椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1(0 < b < 4)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点, 若 $\left|B F_2\right|+\left|A F_2\right|$ 的最大值为 10 , 则 $b$ 的值是
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{6}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{3}$
若圆 $O: x^2+y^2=5$ 与圆 $O_1:(x-m)^2+y^2=20(m \in \mathbf{R})$ 相交于 $A, B$ 两点, 且两圆在点 $A$ 处的切线互 相垂直, 则线段 $A B$ 的长是
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\frac{9}{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{2}$
定义: 以双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线. 以下关于共轭双曲 线的结论不正确的是
$\text{A.}$ 与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 共轭的双曲线是 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1(a>0, b>0)$
$\text{B.}$ 互为共轭的双曲线渐近线不相同
$\text{C.}$ 互为共轭的双曲线的离心率为 $e_1 、 e_2$ 则 $e_1 e_2 \geq 2$
$\text{D.}$ 互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列说法中, 正确的有
$\text{A.}$ 过点 $(5,4)$ 并且倾斜角为 $90^{\circ}$ 的直线方程为 $x-5=0$ ：
$\text{B.}$ 直线 $y=k x-2$ 的纵截距是 $-2$;
$\text{C.}$ 直线 $x-\sqrt{3} y+1=0$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$;
$\text{D.}$ 已知直线 $k x-y-k-1=0$ 和以 $M(-3,1), N(3,2)$ 为端点的线段相交, 则实数 $k$ 的取值范围为 $-\frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$
关于 $x, y$ 的方程 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2 m-1}=1$ 表示的曲线可以是
$\text{A.}$ 椭圆
$\text{B.}$ 双曲线
$\text{C.}$ 拋物线
$\text{D.}$ 圆
以下四个命題表述正确的是
$\text{A.}$ 圆 $x^2+y^2=4$ 上有 4 个点到直线 $l: x-y+\sqrt{2}=0$ 的距离都等于 1 ;
$\text{B.}$ 已知 $A(-2,0), B(1,0), M(-3,0)$ 三点, 动点 $P$ 不在 $x$ 轴上, 且满足 $|P A|=2|P B|$, 则直线 $P M$ 的斜 率取值范围是 $\left[-\frac{2 \sqrt{21}}{21}, 0\right) \cup\left(0, \frac{2 \sqrt{21}}{21}\right]$;
$\text{C.}$ 圆 $C_1: x^2+y^2+2 x=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2-4 x-8 y+m=0$ 恰有一条公切线，则 $m=4$ :
$\text{D.}$ 圆 $C: x^2+y^2=1$, 点 $P$ 为直线 $x+y-2=0$ 上一动点, 过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A, P B, A, B$ 为切点,
则直线 $A B$ 经过定点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
数学中有许多形状优美, 㓙意美好的曲线, 曲线 $C: x^2+y^2=1+|x| y$ 就是其中之一.关于曲线 $C$ 给出 下列四个结论, 其中正确结论是
$\text{A.}$ 图形关于 $y$ 轴对称
$\text{B.}$ 图形关于 $x$ 轴对称
$\text{C.}$ 曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积大于 3
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
经过点 $P(2,3)$, 且在 $x$ 轴上的藋距等于在 $y$ 轴上的截距的 2 倍的直线 $l$ 的方程为
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左, 右焦点, $A$ 是椭圆 $C$ 的左顶点, 点 $P$ 在过 $A$ 且 斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上, $\triangle P F_1 F_2$ 为等胜三角形, $\angle F_1 F_2 P=120^{\circ}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为
设圆 $C$ 与两圆 $C_1:(x+2)^2+y^2=1, C_2:(x-2)^2+y^2=1$ 中的一个内切, 另一个外切, 过圆心 $C$ 的轨迹 $E$ 上的一点 $M(2,3)$ 作斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$, 与曲线 $E$ 交于另外一点 $N$, 则 $\triangle C_2 M N$ 的周长
已知点 $P$ 是抛物线 $x^2=8 y$ 上动点, $F$ 是拋物线的焦点, 点 $A$ 的坐标为 $(0,-2)$, 则 $\frac{P F}{P A}$ 的最小值为
已知点 $A(1,1)$ 和直线 $l: 3 x+4 y-12=0$.
(1) 求过 $A(1,1)$ 且与直线 $l$ 的平行的直线方程;
(2) 求点 $A(1,1)$ 关于直线 $l: 3 x+4 y-12=0$ 的对称点的坐标.
求满足下列条件的曲线标准方程:
(1) 两焦点分别为 $F_1(-\sqrt{2}, 0), F_2(\sqrt{2}, 0)$, 且经过点 $P\left(1, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ 的椭圆标准方程;
(2) 与双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$ 有相同渐近线, 且焦距为 $2 \sqrt{5}$ 的双曲线标准方程.
已知点 $A(4,0), B(0,2)$, 若以 $C(5,5)$ 为圆心的圆被直线 $x+y-6=0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$.
(1) 求圆 $C$ 的方程;
(2) 若点 $P$ 在圆 $C$ 上, 当 $\angle P B A$ 最小时, 求 $|P B|$ 的值.
已知点 $A(-2,0), B(2,0)$, 动点 $M(x, y)$ 满足直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率积为 $\frac{1}{2}$, 记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线:
(2) 已知直线 $l: y=x-3$ 与曲线 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, B$ 两点, 且在曲线 $\mathrm{C}$ 存在点 $P$, 使得 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=m \overrightarrow{O P}$, 求 $m$ 的 值及点 $P$ 的坐标.
已知 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左, 右焦点, 点 $P$ 在椭圆 $\mathrm{C}$ 上, $P F_1 \perp x$ 轴, 点 $A$ 是椭 圆与 $x$ 轴正半轴的交点, 点 $B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点, 且 $A B / / O P,\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=2 \sqrt{2}$.
(1)求椭圆 $C$ 的方程;
(2)过椭圆 $\mathrm{C}$ 左焦点 $F_1$ 作不与坐标轴垂直的直线, 交椭圆于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点, 线段 $M N$ 的垂直平分线与 $\mathrm{y}$ 轴负 半轴交于点 $\mathrm{Q}$, 若点 $\mathrm{Q}$ 的纵坐标的最大值是 $-\frac{1}{3}$, 求 $|M N|$ 的最大值.
已知拋物线 $E: y^2=4 x, \mathrm{~F}$ 为其焦点, $\mathrm{O}$ 为原点， $A, B$ 是 $E$ 上位于 $x$ 轴两侧的不同两点, 且 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$.
(1)求证: 直线 $A B$ 恒过一定点;
(2)若点 $C$ 为 $x$ 轴上一定点, 使 $F$ 到直线 $A C$ 和 $B C$ 的距离相等。当 $F$ 为 $\triangle A B C$ 的内心时, 求 $\triangle A B C$ 的重心 的横坐标.