题号:2751    题型:填空题    来源:2022年高二年级10月月考数学试卷
已知拋物线 $E: y^2=4 x, \mathrm{~F}$ 为其焦点, $\mathrm{O}$ 为原点, $A, B$ 是 $E$ 上位于 $x$ 轴两侧的不同两点, 且 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$.
(1)求证: 直线 $A B$ 恒过一定点;
(2)若点 $C$ 为 $x$ 轴上一定点, 使 $F$ 到直线 $A C$ 和 $B C$ 的距离相等。当 $F$ 为 $\triangle A B C$ 的内心时, 求 $\triangle A B C$ 的重心 的横坐标.
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答案:
22.(1)解: 根据题意, 直线 $A B$ 的斜率不等于零,
故设直线 $A B$ 的方程为 $x=t y+m, t \neq 0$,
所以联立方程 $\left\{\begin{array}{l}y^2=4 x \\ x=t y+m\end{array}\right.$ 得 $y^2-4 t y-4 m=0$,
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设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$,
所以 $\Delta=16 t^2+16 m > 0, y_1+y_2=4 t, y_2 y_1=-4 m$
因为 $\overrightarrow{O A}=\left(x_1, y_1\right), \overrightarrow{O B}=\left(x_2, y_2\right)$,
所以 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=x_1 x_2+y_1 y_2=\frac{y_1^2}{4}, \frac{y_2^2}{4}+y_1 y_2=m^2-4 n=0$,
解得 $m=4$ 或 $m=0$,
因为 $A, B$ 是 $E$ 上位于 $x$ 轴两侧的不同两点,故 $m=0$ 舍去.
所以 $m=4$, 即直线 $A B$ 的方程为 $x=t y+4$
所以直线 $A B$ 过定点 $(4,0)$.

(2)解: 设 $C\left(x_0, 0\right)$, 因为 $F$ 到直线 $A C$ 和 $B C$ 的距离相等,
所以直线 $A C$ 和 $B C$ 的斜率满足 $k_{A C}=-k_{B C}$,
由 (1) 得 $k_{A C}=\frac{y_1}{x_1-x_0}, k_{B C}=\frac{y_2}{x_2-x_0}$,
所以 $k_{A C}+k_{B C}=\frac{y_1}{x_1-x_0}+\frac{y_2}{x_2-x_0}=\frac{y_1\left(x_2-x_0\right)+y_2\left(x_1-x_0\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_2-x_0\right)}=\frac{x_1 y_2+x_2 y_1-x_0\left(y_1+y_2\right)}{x_1 x_2-x_0\left(x_1+x_2\right)+x_0^2}=0$,
所以 $x_1 y_2+x_2 y_1-x_0\left(y_1+y_2\right)=0$, 所以 $-16 t-4 t x_0=0$,
因为 $t \neq 0$, 所以 $x_0=-4$, 即 $C(-4,0)$
所以当 $C(-4,0)$ 时, $F$ 到直线 $A C$ 和 $B C$ 的距离相等
设直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $N$, 因为 $F$ 为 $\triangle A B C$ 的内心,
所以 $\frac{A C}{A N}=\frac{C F}{F N}=\frac{5}{3}$ 即: $\frac{\sqrt{\left(x_1+4\right)^2+y_1^2}}{\sqrt{\left(x_1-4\right)^2+y_1^2}}=\frac{5}{3}$
化简得: $x_1^2-13 x_1+16=0$
同理得: $x_2{ }^2-13 x_2+16=0$
所以 $x_1, x_2$ 为方程 $x^2-13 x+16=0$ 的两个根, 所以 $x_1+x_2=13$
所以 $\triangle A B C$ 的重心的横坐标为 $\frac{x_1+x_2-4}{3}=3$
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