已知拋物线 $E: y^2=4 x, \mathrm{~F}$ 为其焦点, $\mathrm{O}$ 为原点， $A, B$ 是 $E$ 上位于 $x$ 轴两侧的不同两点, 且 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$.
(1)求证: 直线 $A B$ 恒过一定点;
(2)若点 $C$ 为 $x$ 轴上一定点, 使 $F$ 到直线 $A C$ 和 $B C$ 的距离相等。当 $F$ 为 $\triangle A B C$ 的内心时, 求 $\triangle A B C$ 的重心 的横坐标.