题号:2748    题型:填空题    来源:2022年高二年级10月月考数学试卷
已知点 $A(4,0), B(0,2)$, 若以 $C(5,5)$ 为圆心的圆被直线 $x+y-6=0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$.
(1) 求圆 $C$ 的方程;
(2) 若点 $P$ 在圆 $C$ 上, 当 $\angle P B A$ 最小时, 求 $|P B|$ 的值.
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答案:
解: (1) 设圆 $C$ 的标准方程为: $(x-5)^2+(y-5)^2=r^2$
$\because$ 圆 $C$ 被直线 $x+y-6=0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$
$$
\therefore d=\frac{|5+5-6|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \therefore r^2=16
$$
$\therefore$ 圆 $C$ 的标准方程为: $(x-5)^2+(y-5)^2=16$.
(2)当 $B P$ 与圆 $\mathrm{C}$ 相切且切于 $\mathrm{C}$ 点下方时, $\angle \mathrm{PBA}$ 最小,
此时 $P B=\sqrt{B C^2-r^2}=\sqrt{34-16}=3 \sqrt{2}$.
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