已知 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左, 右焦点, 点 $P$ 在椭圆 $\mathrm{C}$ 上, $P F_1 \perp x$ 轴, 点 $A$ 是椭 圆与 $x$ 轴正半轴的交点, 点 $B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点, 且 $A B / / O P,\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=2 \sqrt{2}$.
(1)求椭圆 $C$ 的方程;
(2)过椭圆 $\mathrm{C}$ 左焦点 $F_1$ 作不与坐标轴垂直的直线, 交椭圆于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点, 线段 $M N$ 的垂直平分线与 $\mathrm{y}$ 轴负 半轴交于点 $\mathrm{Q}$, 若点 $\mathrm{Q}$ 的纵坐标的最大值是 $-\frac{1}{3}$, 求 $|M N|$ 的最大值.