单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\alpha_1=(1,0,1)^T, \alpha_2=(1,2,1)^T, \alpha_3=(3,1,2)^T$, 记 $\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2-k \beta_1$, $\beta_3=\alpha_3-l_1 \beta_1-l_2 \beta_2$, 若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交, 则 $l_1, l_2$ 依次为 ( ).
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$.
设 A 是一个 $n (\geqslant 3)$ 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如存在数 $\lambda$ 和向量 $a$ 使 $A a =\lambda a$ ，则 $a$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
$\text{B.}$ 如存在数 $\lambda$ 和非零向量 $a$ ，使 $(\lambda E - A ) a =0$ ，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值
$\text{C.}$ A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
$\text{D.}$ 如 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个互不相同的特征值， $a _1, a _2, a _3$ 依次是 $A$ 的属于 $\lambda_1, \lambda_2$ ， $\lambda_3$ 的特征向量，则 $a _1, a _2, a _3$ 有可能线性相关
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
设 $A$ 是实对称矩阵， $C$ 是实可逆矩阵， $B = C ^{ T } A C$ ．则（）
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 不等价
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征值
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 合同
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & 10 & 6 \\ 1 & -3 & -3 \\ -2 & 10 & 8\end{array}\right)$ ，已知 $a =\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ 是它的一个特征向量，则 $a$ 所对应的特征值为
设 $A = E -2 \xi \xi ^{ T }$ ，其中 $\xi =\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{ T }$ ，且 $\xi ^{ T } \xi =1$ ．证明：
（1） $A$ 是对称矩阵；
（2） $A ^2= E$ ；
（3） $A$ 是正交矩阵．
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $V=\mathbb{P}^{2 \times 2}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，记 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，线性变换： $\sigma: X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{P}^{2 \times 2}$.
(1) 求线性变换 $\sigma$ 在基:
$$
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的矩阵.
（2）如果 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵是对角矩阵.
设 $f(x)$ 是 $n$ 次整系数多项式, 且存在 $n+1$ 个不同的整数 $a_1, \cdots, a_{n+1}$,使得 $\left|f\left(a_i\right)\right|=1(1 \leq i \leq n+1)$. 证明: $f(x)$ 在有理数域上不可约.
设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵
证明: $\left|\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{A}+\cdots+\boldsymbol{A}^{n-1}\right|=(1-c)^{n-1}$, 其中 $c=c_1 c_2 \cdots c_n$.
设 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵, $f(\lambda)=|\lambda E-B|$ 是 $B$ 的特征多项式。证明：矩阵 $f(A)$ 可逆的充分必要条件为 $B$ 的特征值都不是 $A$ 的特征值。
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2$ 经正交变换
$$
\binom{x_1}{x_2}=Q\binom{y_1}{y_2}
$$
化为二次型
$$
g\left(y_1, y_2\right)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2
$$
其中 $a \geq b$.
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求正交矩阵 $Q$.
设 $A X=b$ 为非其次线性方程组, $r\left(A_{5 \times 4}\right)=3, \alpha, \beta, \gamma$ 为方程解, $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$,
$\beta+\gamma=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 6 \\ 9\end{array}\right)$, 求方程组通解。
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\ 2 x+k y+3 z=0 \\ 3 x+5 y+k z=1\end{array}\right.$ 有唯一解, 请决定参数 $k$ 的取值范围,并求出方程组相应的唯一解。
计算$n$阶行列式$\left|\begin{array}{ccccc}
a & b & b & \cdots & b \\
b & a & b & \cdots & b \\
& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \cdots \\
b & b & b & \cdots & a
\end{array}\right|$
计算 $\left|\begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
& \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \cdots & \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1
\end{array}\right|$
试计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3\end{array}\right|$ ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ -2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -3\end{array}\right)$ 的全部特征值为 $1,1$ 和$-8$ ．求正交矩阵 T 和对角矩阵 $D$ ，使 $T ^{-1} A T = D$ ．
设 $\eta_0$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的一个特解，$\xi_1, \xi_2$ 是其导出组 $A x = 0$ 的一个基础解系．试证明
（1）$\eta_1=\eta_0+\xi_1, \eta_2=\eta_0+\xi_2$ 均是 $A x = b$ 的解；
（2） $\eta _0, \eta_1, \eta_2$ 线性无关。
设
$$
A =\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$
求 $A ^{-1}$ ．
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & -4 & 2\end{array}\right)$ 的秩及其列向量的一个极大线性无关组．