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试卷20

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

y = x \sin x + 2 \cos x (- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2})

的拐点坐标为

A.

(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})

B.

(π, - 2)

C.

(0, 2)

D.

(\frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2})

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2. 下列反常积分发散的是

A.

\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x

B.

\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x^{2}} d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\arctan x}{1 + x^{2}} d x

D.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x

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3. 已知微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}

的通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + e^{x}

，则

a, b, c

依次为

A.

1, 0, 1

B.

1, 0, 2

C.

2, 1, 3

D.

2, 1, 4

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4. 已知积分区域

D = {(x, y) | | x | + | y | \leq \frac{π}{2}}

，

\begin{matrix} I_{1} = \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y \\ I_{2} = \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y \\ I_{3} = \iint_{D} (1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y, \end{matrix}

比较

I_{1}, I_{2}, I_{3}

的大小

A.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

B.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

C.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

D.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

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5. 已知

f (x), g (x)

二阶可导且在

x = a

处连续，则

lim_{x \to a} \frac{f (x) - g (x)}{(x - a)^{2}} = 0

是两条曲线

y = f (x), y = g (x)

在

x = a

对应的点相切且曲率相等的

A.

充分非必要条件

B.

充分必要条件

C.

必要非充分条件

D.

既非充分也非必要条件

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6. 设

A

为四阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若线性方程组

A x = 0

的基础解系中只有 2 个向量，则

A^{*}

的秩是

A.

B.

C.

D.

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7. 设

A

是三阶实对称矩阵，

E

是三阶单位矩阵，若

A^{2} + A = 2 E ， 且 | A | = 4 ，

则二次型

x^{T} A x

的规范形为

A.

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

B.

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

C.

y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

D.

- y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to 0} {(x + 2^{x})}^{\frac{2}{x}} =

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9. 曲线

{\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases}

在

t = \frac{3 π}{2}

对应点处切线在

y

轴上的截距为

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10. 设函数

f (u)

可导，

z = y f (\frac{y^{2}}{x})

，则

2 x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

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11. 设函数

y = \ln \cos x (0 \leq x \leq \frac{π}{6})

的弧长为

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12. 已知

f (x) = x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} d t

，则

\int_{0}^{1} f (x) d x =

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13. 已知矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & - 1 & 1 \\ 3 & - 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{array}) ， A_{i j}

表示

| A |

中

(i, j)

元的代数余子式，则

A_{11} - A_{12} =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 已知

f (x) = {\begin{cases} x^{2 x}, x > 0, \\ x e^{x} + 1, x \leq 0 . \end{cases}

求

f^{'} (x)

，并求

f (x)

的极值.

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15. 求不定积分

\int \frac{3 x + 6}{(x - 1)^{2} (x^{2} + x + 1)} d x

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16. 已知

y (x)

满足微分方程

y^{'} - x y = \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}

，且有

y (1) = \sqrt{e}

(1) 求

y (x)

；
(2) 设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq y (x)}

，求平面区域

D

绕

x

轴旋转所成旋转体体积.

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17. 已知平面区域

D = {(x, y) ∥ x ∣\leq y, {(x^{2} + y^{2})}^{3} \leq y^{4}}

，求

\iint_{D} \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

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18. 设

n

是正整数，记

S_{n}

是

y = e^{- x} \sin x (0 \leq x \leq n π)

的图形与

x

轴所围图形的面积，求

S_{n}

，并求

lim_{n \to \infty} S_{n}

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19. 已知函数

u (x, y)

满足

2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + 3 \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = 0 ，

求

a, b

的值，使得在变换

u (x, y) = v (x, y) e^{a x + b y}

下，上述等式可以化为

v (x, y)

不含一阶偏导数的等式.

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20. 已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上具有二阶导数，且

f (0) = 0, f (1) = 1, \int_{0}^{1} f (x) d x = 1 .

证明: (1) 存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f^{'} (ξ) = 0

；
(2) 存在

η \in (0, 1)

，使得

f^{''} (η) < - 2

。

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21. 已知向量组
(I)

α_{1} = (1, 1, 4)^{T}, α_{2} = (1, 0, 4)^{T}, α_{3} = {(1, 2, a^{2} + 3)}^{T}

,
(II)

β_{1} = (1, 1, a + 3)^{T}, β_{2} = (0, 2, 1 - a)^{T}, β_{3} = {(1, 3, a^{2} + 3)}^{T}

,

若向量组(I)和向量组(II) 等价，求

a

的取值，并将

β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

表示.

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22. 已知矩阵

A = (\begin{array}{ccc} - 2 & - 2 & 1 \\ 2 & x & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array})

与

B = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{array})

相似.
(1)求

x, y

；
(2) 求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P = B

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