单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathrm{e}^{\tan x}-\mathrm{e}^{\sin a x}}{\int_0^{\mathrm{e}^{x^2}-1} \frac{\ln (1+\sqrt{t})}{\sqrt{b+t^2}} \mathrm{~d} t}=\frac{3}{2}$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=4$
$\text{C.}$ $a=1, b=2$
$\text{D.}$ $a=1, b=4$
设 $f(x)$ 连续二阶可导, 且 $f(0)=2$, 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 f'(x)-2}{\ln (1+x)-x^2}=2$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极大值 2
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值 2
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处不取极值
$\text{D.}$ $(0,2)$ 为 $y=f(x)$ 的拐点
设二元函数 $z=f(x, y)$ 连续, 且 $f(x, y)=2 x-y+4+o\left(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}\right)$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+2 h, 2)-f(1,2-3 h)}{h}=(\quad)$.
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
设级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(2 x-2)^n$ 在 $x=-1$ 处条件收敛, 则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(2 x-1)^{2 n+1}$ 在 $x=\frac{4}{3}$处 ( ).
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不确定
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵且 1,2 两行不成比例, 又非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有两个线性无关解 $\boldsymbol{\alpha}_1$, $\boldsymbol{\alpha}_2$, 则下列为 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是 ( )。
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2$
$\text{B.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)$
$\text{C.}$ $k\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2}{2}$
$\text{D.}$ $k\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2}{2}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，令 $\boldsymbol{P}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{P}_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_1^{100} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_2^{-1}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$
下列结论错误的是（）。
$\text{A.}$ 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且有相同的特征值，则存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$
$\text{B.}$ 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{b}$ 为 $m$ 维非零列向量，则方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 一定有解
$\text{C.}$ 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 若 $\boldsymbol{A}^2$ 可相似对角化, 则 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{A})=1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,4), Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$, 则 $P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{2 \theta} \mathrm{e}^{-\frac{\sum_x}{\theta}},\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本,令 $Z=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|X_i\right|^3$, 则 $E(Z)=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\theta^3$
$\text{B.}$ $2 \theta^3$
$\text{C.}$ $3 \theta^3$
$\text{D.}$ $6 \theta^3$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1+x}{\mathrm{e}^x}\right)^{\sin 2 x}-1}{(1-\sqrt{\cos x}) \int_0^x \frac{\sin 2 t}{t} \mathrm{~d} t}=$
由 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 与 $y=1-x^2$ 所围成的区域绕 $y$ 轴旋转而成的几何体容器 $\Omega$ 内充满水,若将水从顶部抽取出来, 所做的功为
设 $F(x, y, z)$ 连续可偏导, $F(x, y, z)=0$ 且 $F_x^{\prime} \cdot F_y^{\prime} \cdot F_z^{\prime} \neq 0$, 则 $\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=$
$\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} y \mathrm{e}^{\frac{x}{y}} \mathrm{~d} y=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $\boldsymbol{\xi}_1=\left(\begin{array}{c}k \\ -k \\ 1\end{array}\right)$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=\left(\begin{array}{l}k \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ 为 $(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 且 $|\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}|=0$, 则 $\boldsymbol{A}=$
设总体 $X \sim E(\lambda)$, 且 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $S_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$,则 $E\left(S_1^2\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续的二阶导数, $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 且二元函数 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最大值.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶连续可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, 证明:
$$
\max _{a \leqslant x \leqslant b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{4}(b-a)^2 \max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|
$$
设二元函数 $u=u(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} u=2 x y \mathrm{~d} x+\left(x^2+2 y\right) \mathrm{d} y, u(0,0)=1$, 且曲面 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $(x-1)^2+y^2=1$ 所截的部分, 求 $I=\iint_{\Sigma} y u(x, y) \mathrm{d} S$.
(1) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可相似对角化矩阵, 且有相同特征值, 证明: 矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 相似;
（2）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$.
有甲、乙、丙三个盒子, 第一个盒子里有 4 个红球和 1 个白球, 第二个盒子里有 3 个红球和 2 个白球, 第三个盒子里有 2 个红球和 3 个白球, 先任取一个盒子, 再从中任取 3 个球, 以 $X$ 表示取到的红球的个数.
(1) 求 $X$ 的分布律;
(2) 求所取到的红球的个数不少于 2 个的概率.