汤家凤硕士研究生入学考试（数一）2023版第八套冲刺模拟卷

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汤家凤硕士研究生入学考试（数一）2023版第八套冲刺模拟卷

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设

lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{\tan x} - e^{\sin a x}}{\int_{0}^{e^{x^{2}} - 1} \frac{\ln (1 + \sqrt{t})}{\sqrt{b + t^{2}}} d t} = \frac{3}{2}

, 则

()

A.

a = - 1, b = 2

B.

a = - 1, b = 4

C.

a = 1, b = 2

D.

a = 1, b = 4

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2. 设

f (x)

连续二阶可导, 且

f (0) = 2

, 又

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 2 f^{'} (x) - 2}{\ln (1 + x) - x^{2}} = 2

, 则

()

A.

f (x)

在

x = 0

处取极大值 2

B.

f (x)

在

x = 0

处取极小值 2

C.

f (x)

在

x = 0

处不取极值

D.

(0, 2)

为

y = f (x)

的拐点

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3. 设二元函数

z = f (x, y)

连续, 且

f (x, y) = 2 x - y + 4 + o (\sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}})

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (1 + 2 h, 2) - f (1, 2 - 3 h)}{h} = ()

A.

-1

B.

C.

-2

D.

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4. 设级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (2 x - 2)^{n}

在

x = - 1

处条件收敛, 则级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (2 x - 1)^{2 n + 1}

在

x = \frac{4}{3}

处 ( ).

A.

条件收敛

B.

绝对收敛

C.

发散

D.

敛散性不确定

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5. 设

A

为 3 阶矩阵且 1,2 两行不成比例, 又非齐次线性方程组

A x = b

有两个线性无关解

α_{1}

α_{2}

, 则下列为

A x = b

的通解的是 ( )。

A.

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2}

B.

k_{1} α_{1} + k_{2} (α_{1} - α_{2})

C.

k (α_{1} - α_{2}) + \frac{α_{1} - α_{2}}{2}

D.

k (α_{1} - α_{2}) + \frac{α_{1} + α_{2}}{2}

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6. 设

A

为可逆矩阵，令

P_{1} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}), P_{2} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

, 则

A^{- 1} P_{1}^{100} A P_{2}^{- 1} = ()

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

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7. 下列结论错误的是（）。

A.

设

A, B

为

n

阶实对称矩阵，且有相同的特征值，则存在正交矩阵

Q

，使得

Q^{T} A Q = B

B.

设

A

为

m \times n

矩阵,

b

为

m

维非零列向量，则方程组

A^{T} A x = A^{T} b

一定有解

C.

设

A

为

n

阶矩阵, 若

A^{2}

可相似对角化, 则

A

可相似对角化

D.

若

A

为 3 阶非零矩阵, 且

A^{2} = O

, 则

r (A) = 1

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8. 设随机变量

X, Y

相互独立, 且

X \sim N (0, 4), Y \sim (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array})

, 则

P {X + Y ⩽ \frac{1}{2}} = ()

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{1}{4}

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9. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = \frac{1}{2 θ} e^{- \frac{\sum_{x}}{θ}}, (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为来自总体

X

的简单随机样本,令

Z = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {| X_{i} |}^{3}

, 则

E (Z) = ()

A.

θ^{3}

B.

2 θ^{3}

C.

3 θ^{3}

D.

6 θ^{3}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

10.

lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1 + x}{e^{x}})}^{\sin 2 x} - 1}{(1 - \sqrt{\cos x}) \int_{0}^{x} \frac{\sin 2 t}{t} d t} =

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11. 由

y = - \sqrt{1 - x^{2}}

与

y = 1 - x^{2}

所围成的区域绕

y

轴旋转而成的几何体容器

Ω

内充满水,若将水从顶部抽取出来, 所做的功为

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12. 设

F (x, y, z)

连续可偏导,

F (x, y, z) = 0

且

F_{x}^{'} \cdot F_{y}^{'} \cdot F_{z}^{'} \neq 0

, 则

\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} =

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13.

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\sqrt{x}} y e^{\frac{x}{y}} d y =

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14. 设

A

为 3 阶实对称矩阵,

ξ_{1} = (\begin{matrix} k \\ - k \\ 1 \end{matrix})

为方程组

A x = 0

的解,

ξ_{2} = (\begin{array}{l} k \\ 2 \\ 1 \end{array})

为

(2 E - A) x = 0

的一个解, 且

| E + A | = 0

, 则

A =

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15. 设总体

X \sim E (λ)

, 且

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为总体

X

的简单随机样本, 令

S_{1}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

,则

E (S_{1}^{2}) =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设

f (x)

连续可导, 且

f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = π

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (\sin x)}{\tan^{2} x - \sin^{2} x}

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17. 设

f (x)

在

[1, + \infty)

上有连续的二阶导数,

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

, 且二元函数

z = (x^{2} + y^{2}) f (x^{2} + y^{2})

满足

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

, 求

f (x)

在

[1, + \infty)

上的最大值.

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18. 设

f (x)

在

[a, b]

上二阶连续可导, 且

f (a) = f (b) = 0

, 证明:

max_{a ⩽ x ⩽ b} | f (x) | ⩽ \frac{1}{4} (b - a)^{2} max_{a ⩽ x ⩽ b} | f^{''} (x) |

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19. 设二元函数

u = u (x, y)

满足

d u = 2 x y d x + (x^{2} + 2 y) d y, u (0, 0) = 1

, 且曲面

Σ

为锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

被

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

所截的部分, 求

I = \iint_{Σ} y u (x, y) d S

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20. (1) 设

A, B

为

n

阶可相似对角化矩阵, 且有相同特征值, 证明: 矩阵

A, B

相似;
（2）设

A = (\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array})

, 求可逆矩阵

P

, 使得

P^{- 1} A P = B

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21. 有甲、乙、丙三个盒子, 第一个盒子里有 4 个红球和 1 个白球, 第二个盒子里有 3 个红球和 2 个白球, 第三个盒子里有 2 个红球和 3 个白球, 先任取一个盒子, 再从中任取 3 个球, 以

X

表示取到的红球的个数.
(1) 求

X

的分布律;
(2) 求所取到的红球的个数不少于 2 个的概率.

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