设 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathrm{e}^{\tan x}-\mathrm{e}^{\sin a x}}{\int_0^{\mathrm{e}^{x^2}-1} \frac{\ln (1+\sqrt{t})}{\sqrt{b+t^2}} \mathrm{~d} t}=\frac{3}{2}$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=4$
$\text{C.}$ $a=1, b=2$
$\text{D.}$ $a=1, b=4$