设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,4), Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$, 则 $P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$