单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
已知 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $f(u)$ 可导，若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$ ，则（）
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
设有数列 $\left\{x_n\right\}$ ，满足 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$ ，则 ( )
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
已知 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} \mathrm{d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$, $I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
下列四个条件中， 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化的一个充分但不必要条件为（）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 有三个不相等的特征值
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 有三个线性无关的特征向量
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 有三个两两线性无关的特征向量
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的属于不同特征值的特征向量相互正交
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 如果方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解，则 ( )
$\text{A.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right) y=0$ 只有零解
$\text{B.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} B\end{array}\right) y=0$ 只有零解
$\text{C.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right) y=0$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right) y=0$ 同解
$\text{D.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right) y=0$ 与 $\left(\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right) y=0$ 同解
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$ ，若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-2\}$
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R$ 且 $\lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R$ 且 $\lambda \neq-1\}$
设随机变量 $\boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{U}(0,3)$ ，随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从参数为 2 的泊松分布，且 $X$ 与 $Y$ 的协方差为 -1 ，则 $D(2 X-Y+1)=$ ( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的 4 阶矩存在. 设 $\mu_k=E\left(X_1^k\right)(k=1,2,3,4)$ ，则由切比雪夫不等式，对 $\forall \varepsilon>0$ ，有 $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right| \geq \varepsilon\right\} \leq(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设随机变量 $\boldsymbol{X} \sim N(0,1)$ ，在 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}$ 条件下，随机变量 $\boldsymbol{Y} \sim N(x, 1)$ ，则 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 的相关系数为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x, y)=x^2+2 y^2$ ，则该函数在点 $(0,1)$ 处的最大方向导数为
定积分 $\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $x \geq 0, y \geq 0$ 满足 $x^2+y^2 \leq k e^{x+y}$ ，则 $k$ 的取值范围为
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} e^{-n x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$ ，则 $a=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，其中 $\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，若矩阵 $B$ 满足 $\left(E-(E-A)^{-1}\right) B=A$ ，则 $B-A=$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件， $A$ 与 $B$ 互不相容， $A$ 与 $C$互不相容， $B$ 与 $C$ 相互独立，且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 满足
$$
y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}, y(1)=3
$$
求曲线 $y=y(x)$ 的渐近线.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2}{\vec{x}^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $y=x+2$ 与 $y=\sqrt{4-x^2}$ 以及 $x$ 轴所围成的区域.
设 $L$ 是曲面
$$
\Sigma: 4 x^2+y^2+z^2=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0
$$
的边界，曲面方向朝上，已知曲线 $L$ 的方向和曲面的方向符
合右手法则，求曲线积分
$$
I=\oint_L\left(y z^2-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^2 \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶连续导数，
证明 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件为对不同实数 $a, b$ ，
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 i j x_i x_j$.
(1) 求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵.
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形.
(3) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自均值为 $\theta$ 的指数分布的简单随机样本， $Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 为来自均值为 $2 \theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta>0)$ 为未知参数. 利用样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n, Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计计量 $\hat{\theta}$ ，并求 $D(\hat{\theta})$.