设随机变量 $\boldsymbol{X} \sim N(0,1)$ ，在 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}$ 条件下，随机变量 $\boldsymbol{Y} \sim N(x, 1)$ ，则 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 的相关系数为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$