单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0 ， f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，
$$
f(0,0)=0, \vec{n}=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}
$$
非零向量 $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{n}$ 垂直，则
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径， $r$ 是实数，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时， $|r| \geq R$
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时， $|r| \leq R$
$\text{C.}$ 当 $|r| \geq R$ 时，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散
$\text{D.}$ 当 $|r| \leq R$ 时，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过初等列变换化成矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则
$\text{A.}$ 存在矩阵 ${P}$ ，使得 ${P} {A}={B}$
$\text{B.}$ 存在矩阵 $P$ ，使得 $B P=A$
$\text{C.}$ 存在矩阵 $P$ ，使得 $P B=A$
$\text{D.}$ 方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解
已知直线 $L_1: \frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{z-c_2}{c_1}$ 与 $L_2: \frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}$ 相交于一点，记向量 $\alpha_i=\left[\begin{array}{l}a_i \\ b_i \\ c_i\end{array}\right], i=1,2,3$ ，则
$\text{A.}$ $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示
$\text{B.}$ $\alpha_2$ 可由 $\alpha_1, \alpha_3$ 线性表示
$\text{C.}$ $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且
$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0 , P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}$
则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中
$$
P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}
$$
$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 $\boldsymbol{P}\left(\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55\right)$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$
设函数 $f(x)$ 满足在
$$
f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0), f(0)=m, f^{\prime}(0)=n
$$
则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
设 $f(x, y)=\int_0^{x y} e^{x t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
已知随机变量 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布， $Y=\sin X$ ，则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的极值.
计算曲线积分
$$
I=\int_L \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} \mathrm{~d} y
$$
其中 $L$ 为 $x^2+y^2=2$ ，方向取逆时钟方向.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足
$$
a_1=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n
$$
证明: 当 $|x| < 1$ 时，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 收敛，并求其和函数.
设 $\Sigma$ 为曲面
$$z=\sqrt{x^2+y^2}\left(1 \leq x^2+y^2 \leq 4\right)$$ 的下侧， $f(x)$ 为连续函数，计算曲面积分
$$
I= \iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x-y] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z +[y f(x y)+2 y+x] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[z f(x y)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
设函数$f(x)$在$[0,2]$上具有连续导数
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明: (I) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(I) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2$经正交变换 $\binom{x_1}{x_2}=Q\binom{y_1}{y_2}$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2\right)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2$ ，其中 $a \geq b$.
(I) 求 $a, b$ 的值；
(I) 求正交矩阵 $Q$.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.
(I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵；
(ㅍ) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，其中 $X_1, X_2$ 均服从标准正态分布， $X_3$ 的概率分布为
$$
\begin{gathered}
P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2} \\
Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2
\end{gathered}
$$
(I) 求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数，结果用标准正态分布 $\Phi(x)$ 表示；
() 证明随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从标准正态分布.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{c}
1-e^{-(t / \theta)^m}, t \geq 0 \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且均大于零.
（I）求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ；
(ㄷ) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$.