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设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足

$$
a_1=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n
$$


证明: 当 $|x| < 1$ 时，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 收敛，并求其和函数.
                        
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