设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，其中 $X_1, X_2$ 均服从标准正态分布， $X_3$ 的概率分布为

$$
\begin{gathered}
P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2} \\
Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2
\end{gathered}
$$

(I) 求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数，结果用标准正态分布 $\Phi(x)$ 表示；
() 证明随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从标准正态分布.