单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内
$\text{A.}$ 处处可导
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ "表示" $M$ 的充分必要条件是 $N$ "，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
设函数
$$
u(x, y)=\phi(x+y)+\phi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t ，
$$
其中函数 $\phi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
设二维随机变量的概率分布为
已知随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则
$\text{A.}$ $a=0.2, b=0.3$
$\text{B.}$ $a=0.4, b=0.1$
$\text{C.}$ $a=0.3, b=0.2$
$\text{D.}$ $a=0.1, b=0.4$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值， $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\frac{x^2}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为
方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ ，单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{(1,2,3)}=$
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与半球面$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 围成的空间区域， $\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界的外侧，则
$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为三维列向量，记矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，
$$
B=\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3\right) \text { ， }
$$
如果 $|A|=1$ ，那么 $|B|=$
从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1,2, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 Y ，则 $P\{Y=2\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ， $\left[1+x^2+y^2\right]$ 表示不超过 $1+x^2+y^2$ 的最大整数. 计算二重积分 $\iint_D x y\left[1+x^2+y^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right] x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3.2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=1-\xi$.
(2) 存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$.
设函数 $\varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $L$ 上，曲线积分 $\oint_L \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^2+y^4}$ 的值恒为同一常数.
(1) 证明: 对右半平面 $x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $C$ ，有 $\oint_C \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^2+y^4}=0$ ；
（2）求函数 $\varphi(y)$ 的表达式.
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(1-a) x_1^2+(1-a) x_2^2+2 x_3^2+2(1+a) x_1 x_2
$$
的秩为 2 .
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ ，把 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化成标准形;
(3) 求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解.
已知三阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right]$ ( $k$ 为常数)，且 $A B=0$ ，求线性方程组 $A X=0$ 的通解.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 < x < 1,0 < y < 2 x ， \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
求: (1) $(x, y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ；
(2) $Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，记 $Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2, \cdots, n$. 求:
(1) $Y_i$ 的方差 $D Y_i, i=1,2, \cdots, n$ ；
(2) $Y_1$ 与 $Y_n$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_1, Y_n\right)$.