1999年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

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1999年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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2. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}} & x > 0 \\ x^{2} g (x) & x \leq 0 \end{cases}

，其中

g (x)

是有界函数，则

f (x)

在

x = 0

处

A.

极限不存在

B.

极限存在但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

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3. 设

f (x) = {\begin{cases} x, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 2 - 2 x, \frac{1}{2} < x < 1 \end{cases}

，

S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n π x, - \infty < x < + \infty,

其中

a_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \cos n π x d x (n = 0, 1, 2, \dots)

，则

S (- \frac{5}{2})

等于

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{3}{4}

D.

- \frac{3}{4}

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4. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则

A.

当

m > n

时，必有行列式

| A B | \neq 0

B.

当

m > n

时，必有行列式

| A B | = 0

C.

当

n > m

时，必有行列式

| A B | \neq 0

D.

当

n > m

时，必有行列式

| A B | = 0

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5. 设两个相互独立的随机变量

X

和

Y

分别服从

N (0, 1)

和

N (1, 1)

，则

A.

P (X + Y \leq 0) = \frac{1}{2}

B.

P (X + Y \leq 1) = \frac{1}{2}

C.

P (X - Y \leq 0) = \frac{1}{2}

D.

P (X - Y \leq 1) = \frac{1}{2}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \tan x}) =

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\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} \sin (x - t)^{2} d t =

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8. 微分方程

y^{''} - 4 y = e^{2 x}

的通解为

y =

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9. 设

n

阶矩阵

A

的元素全为 1 ，则

A

的

n

个特征值是

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10. 设两两相互独立的三事件

A, B

和

C

满足条件:

A B C = \emptyset

P (A) = P (B) = P (C) < \frac{1}{2}, P (A \cup B \cup C) = \frac{9}{16}

则

P (A) =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设

y = y (x), z = z (x)

是方程

z = x f (x + y)

和

F (x, y, z) = 0

所确定的函数，其中

f

和

F

分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

\frac{d z}{d x}

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12. 求

I = \int_{L} (e^{x} \sin y - b (x + y)) d x + (e^{x} \cos y - a x) d y

，其中

a, b

为正的常数，

L

为从点

A (2 a, 0)

沿曲线

y = \sqrt{2 a x - x^{2}}

到点

O (0, 0)

的弧.

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13. 设函数

y (x) (x \geq 0)

二阶可导且

y^{'} (x) > 0, y (0) = 1

. 过曲线

y = f (x)

上任意一点

P (x, y)

作该曲线的切线及

x

轴的垂线，上述两直线与

x

轴所围成的三角形的面积记为

S_{1}

，区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积记为

S_{2}

，并设

2 S_{1} - S_{2}

恒为 1 ，求此曲线

y = y (x)

的方程.

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14. 试证: 当

x > 0

时，

(x^{2} - 1) \ln x \geq (x - 1)^{2}

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15. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口（见图），已知井深

30 m

，抓斗自重

400 N

，缆绳每米

50 N

，抓斗抓起的污泥重

2000 N

，提升速度为

3 m / s

，在提升的过程中，污泥以

20 N / s

的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?（说明:
(1)

1 N \times 1 m = 1 J; m, N, s, J

分别表示米，牛顿，秒，焦耳;
(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计).

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16. 设

S

为椭球面

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + z^{2} = 1

的上半部分，点

P (x, y, z) \in S ， π

为

S

在点

P

处的切平面，

ρ (x, y, z)

为点

O (0, 0, 0)

到平面

π

的距离，求

\iint_{S} \frac{z d S}{ρ (x, y, z)}

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17. 设

a_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{n} x d x

.
(1) 求

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (a_{n} + a_{n + 2})

的值；
(2) 试证: 对任意的常数

λ > 0

，级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{λ}}

收敛.

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18. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} a & - 1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1 - c & 0 & - a \end{array})

，其行列式

| A | = - 1

，又

A

的伴随矩阵

A^{*}

有一个特征值

λ_{0}

，属于

λ_{0}

的一个特征向量为

α = (- 1, - 1, 1)^{T}

，求

a, b, c

和

λ_{0}

的值.

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19. 设

A

为

m

阶实对称矩阵且正定，

B

为

m \times n

实矩阵，

B^{T}

为

B

的转置矩阵，试证:

B^{T} A B

为正定矩阵的充分必要条件是

B

的秩

r (B) = n

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20. 设随机变量

X

和

Y

相互独立，下表列出了二维随机变量

(X, Y)

联合分布律及关于

X

和关于

Y

的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.

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21. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{6 x}{θ^{3}} (θ - x), & 0 < x < θ \\ 0, & 其 他 \end{array}

X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}

是取自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求

θ

的矩估计量

\hat{θ}

;
(2) 求

\hat{θ}

的方差

D (\hat{θ})

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