单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}} & x>0 \\ x^2 g(x) & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，
$$
S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ，则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$ ，则
$\text{A.}$ $P(X+Y \leq 0)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P(X+Y \leq 1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P(X-Y \leq 0)=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P(X-Y \leq 1)=\frac{1}{2}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$ 的通解为 $y=$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素全为 1 ，则 $A$ 的 $n$ 个特征值是
设两两相互独立的三事件 $A, B$ 和 $C$ 满足条件: $A B C=\varnothing$,
$P(A)=P(B)=P(C) < \frac{1}{2}, P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$
则 $P(A)=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x), z=z(x)$ 是方程 $z=x f(x+y)$ 和 $F(x, y, z)=0$ 所确定的函数，其中 $f$ 和 $F$ 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
求 $I=\int_L\left(e^x \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(e^x \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $a, b$ 为正的常数， $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
试证: 当 $x>0$ 时， $\left(x^2-1\right) \ln x \geq(x-1)^2$.
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口（见图），已知井深 $30 \mathrm{~m}$ ，抓斗自重 $400 \mathrm{~N}$ ，缆绳每米 $50 \mathrm{~N}$ ，抓斗抓起的污泥重 $2000 \mathrm{~N}$ ，提升速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在提升的过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?（说明:
(1) $1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J} ; \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{s}, \mathrm{J}$ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳;
(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计).
设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in S ， \pi$ 为 $S$ 在点 $P$ 处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离，求 $\iint_S \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}$.
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$.
(1) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
(2) 试证: 对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ ，其行列式 $|A|=-1$ ，又 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 有一个特征值 $\lambda_0$ ，属于 $\lambda_0$ 的一个特征向量为 $\alpha=(-1,-1,1)^T$ ，求 $a, b, c$ 和 $\lambda_0$ 的值.
设 $A$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定， $B$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $B^T$ 为 $B$ 的转置矩阵，试证: $B^T A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $B$ 的秩 $r(B)=n$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，下表列出了二维随机变量 $(X, Y)$ 联合分布律及关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta \\
0, & \text { 其 他 }
\end{array}\right.
$$
$X_1, X_2, \cdots X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$.