单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续，偏导数存在
$\text{B.}$ 连续，偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，偏导数存在
$\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
S_1 & =\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a) \\
S_3 & =\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array}\right)$ ，则三条直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0, a_3 x+b_3 y+c_3=0$ (其中 $a_i^2+b_i^2 \neq 0, i=1,2,3$ ) 交于一点的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{C.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关， $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 方差分别为 4 和 2 ，则随机变量 $3 X-2 Y$ 的方差是
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 44
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}=$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3 ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 收敛区间为
对数螺线 $\rho=e^\theta$ 在点 $(\rho, \theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程为
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right), B$ 为三阶非零矩阵，且 $A B=O$ ，则 $t=$
袋中有 50 个兵兵球，其中 20 个是黄球， 30 个是白球，今有两人依随机从袋中各取一球，
取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^2=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周形成曲面与 $z=8$ 所围成的区域.
计算曲线积分 $\oint_C(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $C$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，
从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看， $C$ 的方向是顺时针的.
在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 $N$ ，在 $t=0$ 时刻已掌握新技术人数为 $x_0$ ，在任意时刻 $t$ 已掌握新技术的人数为 $x(t)$ （将 $x(t)$视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 $k>0$ ，求 $x(t)$.
设直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi$ 上，而平面 $\pi$与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于点 $(1,-2,5)$ ，求 $a, b$ 之值.
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left(e^x \sin y\right)$ 满足方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=e^{2 x} z$ ，求 $f(u)$.
设 $f(x)$ 连续， $\varphi(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ( $A$ 为常数)，求 $\varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：
(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛.
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵， $\alpha_1=(1,1,2,3)^T$,
$$
\alpha_2=(-1,1,4,-1)^T, \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T
$$
是齐次方程组 $B x=0$ 的解向量，求 $B x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
已知 $\xi=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量.
(I) 试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值；
(II) 问 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角阵? 说明理由.
设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵，将 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $B$.
(1) 证明 $B$ 可逆;
(2) 求 $A B^{-1}$.
从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 $\frac{2}{5}$. 设 $X$为途中遇到红灯的次数，求随机变量 $X$ 的分布律、分布函数和数学期望.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
(\theta+1) x^\theta & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>-1$ 是未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的一个容量为 $n$ 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求 $\theta$ 的估计量.