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设 $f(x)$ 连续， $\varphi(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ( $A$ 为常数)，求 $\varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
                        
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