单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $n$ 为正整数, 且 $n^2>2^n$, 则
$\text{A.}$ $n=1$
$\text{B.}$ $n=2$
$\text{C.}$ $n=3$
$\text{D.}$ $n \geqslant 4$
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 过点 $A$ 且以 $\overrightarrow{D B}_1$ 为法向量的平面为 $\alpha$, 则 $\alpha$ 截该正方体所得截面的形状为
$\text{A.}$ 三角形
$\text{B.}$ 四边形
$\text{C.}$ 五边形
$\text{D.}$ 六边形
对于任意集合 $M, N$, 下列关系正确的是
$\text{A.}$ $M \cup C_{M \cup N} N=M \cup N$
$\text{B.}$ $C_{M \cup N}(M \cap N)=\left(\complement_{M \cup N} M\right) \cup\left(\complement_{M \cup N} N\right)$
$\text{C.}$ $M \cap C_{M \cup N} N=M \cap N$
$\text{D.}$ $C_{M \cup N}(M \cap N)=\left(\complement_{M \cup N} M\right) \cap\left(C_{M \cup N} N\right)$
已知 $a>0$, 且 $a \neq 1$, 则函数 $y=\log _a\left(x+\frac{1}{a}\right)$ 的图象一定经过
$\text{A.}$ 一、二象限
$\text{B.}$ 一、三象限
$\text{C.}$ 二、四象限
$\text{D.}$ 三、四象限
已知$z=\frac{2}{1+i},$,则$\bar{z} \cdot(z-1)=$
$\text{A.}$ $1+i$
$\text{B.}$ $1-{i}$
$\text{C.}$ $-1+i$
$\text{D.}$ $-1-i$
已知某六名同学在 CMO 竞赛中获得前六名 (无并列情况), 其中甲或乙是第一名, 丙不是前三名, 则这六名同学获得的名次情况可能有
$\text{A.}$ 72 种
$\text{B.}$ 96 种
$\text{C.}$ 144 种
$\text{D.}$ 288 种
$P$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上一点, $F_1 、 F_2$ 是 $C$ 的两个焦点, $\overrightarrow{P F}_1 \cdot \overrightarrow{P F}_2=0$;点 $Q$ 在 $\angle F_1 P F_2$ 的平分线上, $O$ 为原点, $O Q / / P F_1$, 且 $|O Q|=b$. 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
设函数 $f(x)=x+\mathrm{e}^x, g(x)=x+\ln x$, 若存在 $x_1, x_2$, 使得 $f\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$, 则 $\left|x_1-x_2\right|$的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\mathrm{e}$
已知 $m, n$ 是异面直线, $m \subset \alpha, n \subset \beta$, 那么
$\text{A.}$ 当 $m \perp \beta$, 或 $n \perp \alpha$ 时, $\alpha \perp \beta$
$\text{B.}$ 当 $m / / \beta$, 且 $n / / \alpha$ 时, $\alpha / / \beta$
$\text{C.}$ 当 $\alpha \perp \beta$ 时, $m \perp \beta$, 或 $n \perp \alpha$
$\text{D.}$ 当 $\alpha, \beta$ 不平行时, $m$ 与 $\beta$ 不平行, 且 $n$ 与 $\alpha$ 不平行
已知函数 $f(x)=\sin \omega x+a \cos \omega x \quad(x \in \mathbf{R}, \omega>0)$ 的最大值为 2 , 其部分图象如图所示, 则
$\text{A.}$ $a=\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 函数 $f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 为偶函数
$\text{C.}$ 满足条件的正实数 $\omega$, 存在且唯一
$\text{D.}$ $f(x)$ 是周期函数, 且最小正周期为 $\pi$
设函数 $f(\boldsymbol{x})=[x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数, 则在同一个直角坐标系中, 函数 $y=f(x)$ 的图象与圆 $(x-t)^2+(y+t)^2=2 t^2 \quad(t>0)$ 的公共点个数可以是
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知样本 $x_1, x_2, x_3$ 的平均数为 2 , 方差为 1 , 则 $x_1^2, x_2^2, x_3^2$ 的平均数为
已知圆锥的内切球半径为 1 , 底面半径为 $\sqrt{2}$, 则该圆锥的表面积为
已知 $\triangle A B C$ 中, $\tan \frac{B}{2}=3 \tan \frac{C}{2}$, 双曲线 $E$ 以 $B, C$ 为焦点, 且经过点 $A$, 则 $E$ 的两条渐近线的夹角为 ________ ,$ \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}$ 的取值范围为 ________
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面 $B B_1 C_1 C \perp$ 底面 $A B C$, 且 $A B=A C, A_1 B=A_1 C$.
(1) 证明: $A A_1 \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 若 $A A_1=B C=2, \angle B A C=90^{\circ}$, 求平面 $A_1 B C$ 与平面 $A_1 B C_1$ 夹角的余弦值.
已知函数 $f(x)=(a x+1) \mathrm{e}^x, f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数, 且 $f^{\prime}(x)-f(x)=2 \mathrm{e}^x$.
(1) 若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线为 $y=k x+b$, 求 $k, b$ 的值;
(2) 在 (1) 的条件下, 证明: $f(x) \geqslant k x+b$.
某大型企业准备把某一型量的笭件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产, 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 $94 \%$; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 $98 \%$; 若将这两批零件混合放在一起, 则合格品率为 $97 \%$.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取 3 个, 用频率估计概率, 记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$, 求 $X$ 的分布列和数学期望;
(2) 为了争取获得该零件的生产订单, 甲工厂提高了生产该零件的质量指标. 已知在甲工厂提高质量指标的条件下, 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率, 大于在甲工厂不提高质量指标的条件下, 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.
设事件 $A=$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”, 事件 $B=$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”. 已知 $0 < P(B) < 1$, 证明: $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$.
设抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$, 直线 $l: y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点. 过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线, 交直线 $y=-2$ 于点 $M$. 对任意 $k \in \mathbf{R}$, 直线 $A M, A B, B M$ 的斜率成等差数列.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 若直线 $l^{\prime} / / l$, 且 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相切于点 $N$, 证明: $\triangle A M N$ 的面积不小于 $2 \sqrt{2}$.
无穷数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ 的定义如下: 如果 $n$ 是偶数, 就对 $n$ 尽可能多次地除以 2 , 直到得出一个奇数, 这个奇数就是 $a_n$; 如果 $n$ 是奇数, 就对 $3 n+1$ 尽可能多次地除以 2 ,直到得出一个奇数, 这个奇数就是 $a_n$.
(1) 写出这个数列的前 7 项;
(2) 如果 $a_n=m$ 且 $a_m=n$, 求 $m, n$ 的值;
(3) 记 $a_n=f(n), n \in \mathbf{N}^*$, 求一个正整数 $n$, 满足
$$
n < f(n) < f(f(n)) < \cdots < \underbrace{f(f(\cdots(f)}_{2024 \text{个}f}(n)) \cdots)) .
$$