无穷数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ 的定义如下: 如果 $n$ 是偶数, 就对 $n$ 尽可能多次地除以 2 , 直到得出一个奇数, 这个奇数就是 $a_n$; 如果 $n$ 是奇数, 就对 $3 n+1$ 尽可能多次地除以 2 ,直到得出一个奇数, 这个奇数就是 $a_n$.
(1) 写出这个数列的前 7 项;
(2) 如果 $a_n=m$ 且 $a_m=n$, 求 $m, n$ 的值;
(3) 记 $a_n=f(n), n \in \mathbf{N}^*$, 求一个正整数 $n$, 满足
$$
n < f(n) < f(f(n)) < \cdots < \underbrace{f(f(\cdots(f)}_{2024 \text{个}f}(n)) \cdots)) .
$$