某大型企业准备把某一型量的笭件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产, 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 $94 \%$; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 $98 \%$; 若将这两批零件混合放在一起, 则合格品率为 $97 \%$.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取 3 个, 用频率估计概率, 记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$, 求 $X$ 的分布列和数学期望;
(2) 为了争取获得该零件的生产订单, 甲工厂提高了生产该零件的质量指标. 已知在甲工厂提高质量指标的条件下, 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率, 大于在甲工厂不提高质量指标的条件下, 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.
设事件 $A=$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”, 事件 $B=$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”. 已知 $0 < P(B) < 1$, 证明: $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$.