设抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$, 直线 $l: y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点. 过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线, 交直线 $y=-2$ 于点 $M$. 对任意 $k \in \mathbf{R}$, 直线 $A M, A B, B M$ 的斜率成等差数列.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 若直线 $l^{\prime} / / l$, 且 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相切于点 $N$, 证明: $\triangle A M N$ 的面积不小于 $2 \sqrt{2}$.