单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{3} x-y+1=0$, 则直线 $l$ 的倾斜角为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
已知函数 $f(x)=x^{2}$ 的导数为 $f^{\prime}(x)$, 则 $f^{\prime}(1)+f^{\prime}(-1)$ 等于 ()
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
与椭圆 $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ 有相同的焦点, 且短半轴长为 $2 \sqrt{5}$ 的椭圆方程是（）
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{20}=1$
$\text{B.}$ $\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{20}=1$
$\text{C.}$ $\frac{y^{2}}{45}+\frac{x^{2}}{20}=1$
$\text{D.}$ $\frac{y^{2}}{85}+\frac{x^{2}}{80}=1$
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1, a_{8}+a_{10}=10$, 则 $a_{5}=($ )
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 2
函数 $f(x)=\ln x-x$ 在 $(0, e]$ 上的最大值为
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $1-e$
$\text{D.}$ $e$
把 3 封信投到 4 个信箱中, 所有可能的投法共有（）
$\text{A.}$ 7 种
$\text{B.}$ 12 种
$\text{C.}$ $3^{4}$ 种
$\text{D.}$ $4^{3}$ 种
若函数 $f(x)=k x+\ln x$ 在区间 $(1 ， 3)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left[-\frac{1}{6},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left[-\frac{1}{3},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-1]$
已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 点 $A, B$ 在抛物线 $C$ 上, 且满足 $A F \perp B F$. 设线段 $A B$ 的中点到准线的距离为 $d$, 则 $\frac{|A B|}{d}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知空间向量 $\boldsymbol{a}=(-1, \lambda,-2), \boldsymbol{b}=(2,-1,1)$, 若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$, 则 $\lambda$ 的值为 ()
$\text{A.}$ 17
$\text{B.}$ $-17$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ 1
在公比 $q$ 为整数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $S_{n}$ 是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $a_{1}+a_{4}=18, a_{2}+a_{3}=12$, 则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ $q=2$
$\text{B.}$ 数列 $\left\{S_{n}+2\right\}$ 是等比数列
$\text{C.}$ $S_{8}=510$
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\lg a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列
已知双曲线 ${ }_{9}^{2}-x_{16}^{x^{2}}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 在双曲线上, 则下列结论正确 的是 ( )
$\text{A.}$ 该双曲线的离心率为 ${ }_{4}^{5}$
$\text{B.}$ 该双曲线的渐近线方程为 $y=\pm^{3} x$
$\text{C.}$ 若 $P F_{1} \perp P F_{2}$, 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 9
$\text{D.}$ 点 $P$ 到两渐近线的距离乘积为 144
已知函数 $f(x)=\frac{x}{\ln x}$, 下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(1, e)$ 上单调递减, 在 $(e,+\infty)$ 上单调递增
$\text{B.}$ 若方程 $f(|x|)=$ 有 4 个不等的实根, 则 $k>e$
$\text{C.}$ 当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时, $x_{1} \ln x_{2} < x_{2} \ln x_{1}$
$\text{D.}$ 设 $g(x)=x^{2}+a$, 若对 $\forall x_{1} \in \mathbf{R}, \exists x_{2} \in(1,+\infty)$, 使得 $g\left(x_{\imath}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 成立, 则 $a \geq e$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=-1, a_{4}=b_{4}=8$, 则 $\frac{a_{2}}{b_{2}}=$
从 $1,2,3,4,5$ 这五个数中任取 3 个, 可组成不同的等差数列的个数为
已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $B$ 为 $C$ 上的点, 且 $B F$ 垂直于 $x$ 轴, 若 $A B$ 的斜率为 3 , 则 $C$ 的离心率为
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{k}{x}, k \in \mathbf{R}$. 若对任意的 $x_{1}>x_{2}>0, \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} < 1$, 恒成立, 则 $k$ 的取值范围为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=x^{3}-3 x+1$.
(1) 求函数 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程;
(2) 求函数 $f(x)$ 的极值.
在平面直角坐标系$xOy$中，已知圆$C$的半径为1，圆心既在直线$y=2x-4$上，也在直线$y=x-1$上
（1）求圆$C$的方程
（2）过点$A(2,4)$做圆$C$的切线，求切线方程
从
(1) $ \frac{S_{n+3}}{n+3}-\frac{S_{n}}{n}=3$
(2) $a_{2} a_{5}=27$,
(3) $S_{6}=36$,
这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中并 作答:
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差大于零, 且前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 若 $a_{4}=7$,
(1)求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}$, 求数列 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
在三棱锥 $A-O B C$ 中, 已知平面 $A O B \perp$ 底面 $B O C, A O \perp B C$, 底面 $B O C$ 为等腰直角三角形, 且斜边 $B C=2 \sqrt{2}$.
(1) 求证: $A O \perp$ 平面 $B O C$;
（2）若E是OC的重点，二面角$A-BE-O$的余弦值为 $\dfrac{2}{3}$
求直线 $A C$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.
已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$, 焦距为 4 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程:
(2) 若直线 $l$ 过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于 $M$ 点, $O$
为坐标原点, 若 $\overrightarrow{M O}=\overrightarrow{O N}$, 求 $\triangle A B N$ 面积的取值范围.
已知函数 $f(x)=a \ln (x+1)+\frac{1}{2} x^{2}-x$ ( $a$ 为非零常数), 若 $y=f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$,
且 $x_{1} < x_{2}$.
(1) 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 证明: $2 f\left(x_{2}\right)-x_{1}>0$.