江苏省镇江市五校联盟2021-2022学年高二下学期3月学情调查考试数学试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=x^{3}-3 x+1$.
(1) 求函数 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程;
(2) 求函数 $f(x)$ 的极值.

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答案：

解: (1) $\because f(x)=x^{3}-3 x+1$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x-1)(x+1), \\
&\therefore k=f^{\prime}(0)=-3 \text {, 又 } f(0)=1
\end{aligned}
$$
所以切线方程为 $y-1=-3(x-0)$.
即 $3 x+y-1=0 $
(2) $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$
叕 $f^{\prime}(x)=0$ 可得 $x=1$ 或 $x=-1$.
令 $f^{\prime}(x) > 0$, 得 $x > 1$ 或 $x < -1$; 令 $f^{\prime}(x) < 0$, 得 $-1 < x < 1$.
当 $x$ 变化时, $f^{\prime}(x), \quad f(x)$ 的变化情况如下表：

当 $x=-1$ 时, $f(x)$ 有极大值, 并且极大值为 $f(-1)=3$
当 $x=1$ 时, $f(x)$ 有极小值, 并且极小值为 $f(1)=-1$.

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