已知函数 $f(x)=\frac{x}{\ln x}$, 下列说法正确的是（）
A. $f(x)$ 在 $(1, e)$ 上单调递减, 在 $(e,+\infty)$ 上单调递增
B. 若方程 $f(|x|)=$ 有 4 个不等的实根, 则 $k>e$
C. 当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时, $x_{1} \ln x_{2} < x_{2} \ln x_{1}$
D. 设 $g(x)=x^{2}+a$, 若对 $\forall x_{1} \in \mathbf{R}, \exists x_{2} \in(1,+\infty)$, 使得 $g\left(x_{\imath}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 成立, 则 $a \geq e$