题号:1397    题型:填空题    来源:江苏省镇江市五校联盟2021-2022学年高二下学期3月学情调查考试数学试题
类型:期中考试

(1) $ \frac{S_{n+3}}{n+3}-\frac{S_{n}}{n}=3$
(2) $a_{2} a_{5}=27$,
(3) $S_{6}=36$,
这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中并 作答:
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差大于零, 且前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 若 $a_{4}=7$, _______

(1)求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}$, 求数列 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
编辑试题 我来讲解
答案:
选(1). 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 则由 $a_{4}=7$ 可得 $a_{1}+3 d=7$,
因为 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1) d}{2}$, 则 $\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{(n-1) d}{2}, \frac{S_{n+3}}{n+3}=a_{1}+\frac{(n+2) d}{2}$, 由 $\frac{S_{n+3}}{n+3}-\frac{S_{n}}{n}=3$ 得 $d=2$, 则 $a_{1}=1$,
则 $a_{n}=2 n-1$;
选(2). 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 则由 $a_{4}=7$ 可得 $a_{1}+3 d=7$, 因为 $a_{2} a_{5}=27$
所以 $\left(a_{1}+d\right)\left(a_{1}+4 d\right)=27$,
联立以上两式可得 $a_{1}=1, d=2$ 或者 $a_{1}=\frac{47}{2}, d=-\frac{11}{2}$,
因为公差大于零, 所以 $a_{1}=1, d=2$ 则 $a_{n}=2 n-1, \cdots \cdots$
选(3). 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 则由 $a_{4}=7$ 可得 $a_{1}+3 d=7$,
由 $S_{6}=36$ 得 $6 a_{1}+\frac{6 \times 5}{2} d=36$, 联立以上两式可得 $a_{1}=1, d=2$,
则 $a_{n}=2 n-1$;
(2) 由 (1) 得 $b_{n}=\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$,
所以 $T_{n}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)$
$=\frac{n}{2 n+1}$

解析:

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