李永乐武忠祥考研数学冲刺模拟试卷5

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李永乐武忠祥考研数学冲刺模拟试卷5

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f^{'} (x)

在

x = a

处连续, 且

lim_{x \to a} \frac{\sin (x - a)}{f^{'} (x)} = - 1

, 则

A.

x = a

是

f (x)

的极小值点.

B.

x = a

是

f (x)

的极大值点.

C.

(a, f (a))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{'} (x)

在

x = a

的邻域内单调.

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2. 级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{α} \ln^{β} n}

收敛的充要条件是

A.

α > 1

B.

α > 1, β > 1

C.

α ⩾ 1, β > 1

D.

α > 1

或

α = 1, β > 1

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3. 设曲线

L : y = \ln x

, 则

A.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最小曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

B.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最大曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

C.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最小曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最大曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

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4. 设

f (x) = \frac{\ln | x |}{| x - 1 |} \sin x

, 则

f (x)

有

A.

两个可去间断点.

B.

两个无穷间断点.

C.

一个可去间断点, 一个跳跃间断点.

D.

一个可去间断点,一个无穷间断点.

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5. 设

M = \iint_{| x | + | y | ⩽ 1} (x + y)^{3} d σ, N = \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} \cos x^{2} \sin y^{2} d σ, P = \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} (e^{- x^{2} - y^{2}} - 1) d σ

, 则必有

A.

M > N > P

B.

N > M > P

C.

M > P > N

D.

N > P > M

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6. 设积分

I = \int_{A}^{B} (x^{4} + 4 x y^{p}) d x + (6 x^{p - 1} y^{2} - 5 y^{4}) d y

, 则下列正确的是

A.

当常数

p = 3

时积分

I

与路径无关, 此时, 微分式

(x^{4} + 4 x y^{p}) d x + (6 x^{p - 1} y^{2} - 5 y^{4}) d y

的原函数族是

\frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{2} y^{3} + y^{5} + C

B.

当常数

p = 3

时积分

I

与路径无关, 此时, 微分式

(x^{4} + 4 x y^{p}) d x + (6 x^{p - 1} y^{2} - 5 y^{4}) d y

的原函数族是

\frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} + C

C.

当常数

p = 2

时积分

I

与路径无关, 此时, 微分式

(x^{4} + 4 x y^{p}) d x + (6 x^{p - 1} y^{2} - 5 y^{4}) d y

的原函数族是

\frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} + C

D.

当常数

p = 2

时积分

I

与路径无关, 此时, 微分式

(x^{4} + 4 x y^{p}) d x + (6 x^{p - 1} y^{2} - 5 y^{4}) d y

的原函数族是

\frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{2} y^{3} + y^{5} + C

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7. 已知

A

是 3 阶矩阵且

| A | = - \frac{1}{4}

, 则

| {(\frac{1}{5} A)}^{- 1} + (2 A)^{*} | =

A.

B.

-16

C.

256

D.

-256

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8. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

是

n

维列向量, 则下列命题中正确的是

A.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意

s - 1

个向量都线性无关,则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

必线性无关.

B.

若

α_{s}

不能由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s - 1}

线性表示, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

必线性无关.

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则

(\begin{array}{l} α_{1} \\ α_{s} \end{array}), (\begin{array}{l} α_{2} \\ α_{s} \end{array}), \dots, (\begin{matrix} α_{s - 1} \\ α_{s} \end{matrix})

必线性无关.

D.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, \dots, α_{s - 1} + α_{s}, α_{s} + α_{1}

必线性无关.

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9. 随机变量

X

的分布函数

F (x)

, 概率密度为

f (x), a

为常数, 则不能将概率密度设成

A.

f (x + a)

B.

a f (a x)

C.

f (- x)

D.

2 f (x) F (x)

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10. 将长度为

1 m

的木棒随机地截成两段, 设第一段长度的

\frac{1}{5}

为

X

, 第二段长度的

\frac{1}{7}

为

Y

, 则

X, Y

的相关系数

ρ_{X Y} =

A.

-1 .

B.

- \frac{1}{35}

C.

\frac{1}{35}

D.

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 已知方程

3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x + a = 0

有四个不相同的实根, 则

a

的取值范围为

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12. 已知

f (x) = \frac{(x - 1) (x - 2) \dots (x - n)}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)}

, 则

f^{'} (1) =

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13. 设连续函数

f (x)

非负, 且

f (x) \int_{0}^{1} f (t x) d t = 2 x^{2}

, 则

f (x)

在区间

[0, 2]

上的平均值为

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14. 方程

3 x y y^{'} (x) + x^{2} + y^{2} = 0

的通解为

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15. 已知

λ = 0

是矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & a \\ 2 & a + 3 & 2 \end{array}]

的特征值,

A^{*}

是

A

的伴随矩阵, 则齐次方程组

A^{*} x =

0 的通解是

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16. 市场上某产品由甲、乙两厂生产. 已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数

F_{1} (x)

和

F_{2} (x)

,且甲厂的产量是乙厂的 3 倍, 则从市场上任取一件产品, 其指标服从的分布函数为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知曲线

y = f (x)

和

\int_{a}^{y + x} e^{- t^{2}} d t = 2 y - \sin x

在原点处相切, 试求极限

lim_{x \to 0} {(\frac{\ln (1 + x)}{x^{1 + a}})}^{\frac{1}{f (x)}}

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18. 设抛物线

y = a x^{2} + b x + c

通过点

(0, 0)

和

(1, 2)

, 且

a < 0

, 试确定

a, b, c

的值使该拖物线与

x

轴所围图形

D

的面积最小,并求此图形

D

绕直线

x = 2

旋转一周所得旋转体的体积.

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19. 计算线积分

I = \int_{L} \frac{x d y - y d x}{4 x^{2} + y^{2}}

, 其中

L

为由点

A (- 1, 0)

经点

B (1, 0)

到点

C (- 1, 2)

的路径,

\overset{⏜}{A B}

为下半圆周,

\overset{―}{B C}

为直线.

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20. 设

f (x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x^{n + 1}}{n^{2} - 1}

, 求

f (x)

并讨论

f (x)

的单调性.

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21. 设二次型

x^{T} A x = a x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 8 x_{1} x_{2} + 2 b x_{1} x_{3} + 2 c x_{2} x_{3}

矩阵

A

满足

A B = O

, 其中

B = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

.
(I ) 用正交变换化二次型

x^{T} A x

为标准形,并写出所用正交变换.
(II) 判断矩阵

A

和

B

是否合同, 并说明理由.
(III) 若二次型

x^{T} (A + k E) x

的规范形是

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

, 求

k

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22. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自区间

[θ, θ + 1]

上均匀分布的总体

X

的简单随机样本, 试求
(I) 参数

θ

的矩估计量

{\hat{θ}}_{1}

;
(II) 参数

θ

的最大似然估计量

{\hat{θ}}_{2}

;
(III)

E ({\hat{θ}}_{1})

和

D ({\hat{θ}}_{1})

的值.

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