单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin (x-a)}{f^{\prime}(x)}=-1$, 则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 的邻域内单调.
级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha \ln ^\beta n}$ 收敛的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha>1$.
$\text{B.}$ $\alpha>1, \beta>1$.
$\text{C.}$ $\alpha \geqslant 1, \beta>1$.
$\text{D.}$ $\alpha>1$ 或 $\alpha=1, \beta>1$.
设曲线 $L: y=\ln x$, 则
$\text{A.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\ln 2}{2}\right)$ 点取得最小曲率半径 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
$\text{B.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\ln 2}{2}\right)$ 点取得最大曲率半径 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, 1-\ln 2\right)$ 点取得最小曲率半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{D.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, 1-\ln 2\right)$ 点取得最大曲率半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
设 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个可去间断点.
$\text{B.}$ 两个无穷间断点.
$\text{C.}$ 一个可去间断点, 一个跳跃间断点.
$\text{D.}$ 一个可去间断点,一个无穷间断点.
设 $M=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1}(x+y)^3 \mathrm{~d} \sigma, N=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} \cos x^2 \sin y^2 \mathrm{~d} \sigma, P=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(\mathrm{e}^{-x^2-y^2}-1\right) \mathrm{d} \sigma$, 则必有
$\text{A.}$ $M>N>P$.
$\text{B.}$ $N>M>P$.
$\text{C.}$ $M>P>N$.
$\text{D.}$ $N>P>M$.
设积分 $I=\int_A^B\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$, 则下列正确的是
$\text{A.}$ 当常数 $p=3$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3+y^5+C$.
$\text{B.}$ 当常数 $p=3$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3-y^5+C$.
$\text{C.}$ 当常数 $p=2$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3-y^5+C$.
$\text{D.}$ 当常数 $p=2$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3+y^5+C$.
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵且 $|\boldsymbol{A}|=-\frac{1}{4}$, 则 $\left|\left(\frac{1}{5} \boldsymbol{A}\right)^{-1}+(2 \boldsymbol{A})^*\right|=$
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ -16
$\text{C.}$ 256
$\text{D.}$ -256
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $n$ 维列向量, 则下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关,则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性无关.
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_s$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性无关.
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}_{s-1} \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right)$ 必线性无关.
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}+\boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\alpha}_s+\boldsymbol{\alpha}_1$ 必线性无关.
随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$, 概率密度为 $f(x), a$ 为常数, 则不能将概率密度设成
$\text{A.}$ $f(x+a)$.
$\text{B.}$ $a f(a x)$.
$\text{C.}$ $f(-x)$.
$\text{D.}$ $2 f(x) F(x)$.
将长度为 $1 \mathrm{~m}$ 的木棒随机地截成两段, 设第一段长度的 $\frac{1}{5}$ 为 $X$, 第二段长度的 $\frac{1}{7}$ 为 $Y$, 则 $X, Y$的相关系数 $\rho_{X Y}=$
$\text{A.}$ -1 .
$\text{B.}$ $-\frac{1}{35}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{35}$.
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知方程 $3 x^4-8 x^3-6 x^2+24 x+a=0$ 有四个不相同的实根, 则 $a$ 的取值范围为
已知 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$, 则 $f^{\prime}(1)=$
设连续函数 $f(x)$ 非负, 且 $f(x) \int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=2 x^2$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为
方程 $3 x y y^{\prime}(x)+x^2+y^2=0$ 的通解为
已知 $\lambda=0$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & a \\ 2 & a+3 & 2\end{array}\right]$ 的特征值, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则齐次方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=$ 0 的通解是
市场上某产品由甲、乙两厂生产. 已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$,且甲厂的产量是乙厂的 3 倍, 则从市场上任取一件产品, 其指标服从的分布函数为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_a^{y+x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right)^{\frac{1}{f(x)}}$.
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 通过点 $(0,0)$ 和 $(1,2)$, 且 $a < 0$, 试确定 $a, b, c$ 的值使该拖物线与 $x$轴所围图形 $D$ 的面积最小,并求此图形 $D$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积.
计算线积分 $I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为由点 $A(-1,0)$ 经点 $B(1,0)$ 到点 $C(-1,2)$ 的路径, $\overparen{A B}$ 为下半圆周, $\overline{B C}$ 为直线.
设 $f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n^2-1}$, 求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性.
设二次型
$$
\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_1^2+2 x_2^2-x_3^2+8 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 c x_2 x_3
$$
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
(I ) 用正交变换化二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 为标准形,并写出所用正交变换.
(II) 判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是否合同, 并说明理由.
(III) 若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 求 $k$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自区间 $[\theta, \theta+1]$ 上均匀分布的总体 $X$ 的简单随机样本, 试求
(I) 参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_1$;
(II) 参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_2$;
(III) $E\left(\hat{\theta}_1\right)$ 和 $D\left(\hat{\theta}_1\right)$ 的值.