设二次型
$$
\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_1^2+2 x_2^2-x_3^2+8 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 c x_2 x_3
$$
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
(I ) 用正交变换化二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 为标准形,并写出所用正交变换.
(II) 判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是否合同, 并说明理由.
(III) 若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 求 $k$.