单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $A=\left\{x \mid \frac{x-1}{x+2} < \frac{1}{2}, x \in \mathbf{R}\right\}, B=\{x \in \mathbf{N} \mid 1 < x < 5\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{2\}$
$\text{B.}$ $\{2,3\}$
$\text{C.}$ $\{3,4\}$
$\text{D.}$ $\{2,3,4\}$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$ 把自然对数的底数 $\mathrm{e}$ 、虚数单位 $\mathrm{i} 、$ 三角函数联系在一起, 充分体现了数学的和谐美. 已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂, 则 $\mathrm{i}^{\mathrm{i}}=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^\pi$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-\pi}$
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $S_{12}=S_4+16 S_8$, 则公比 $q=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $\pm 2$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\pm 3$
已知向量 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6$, 线段 $B C$ 的中点为 $M$, 且 $|\overrightarrow{A M}|=6$, 则 $|\overrightarrow{B C}|=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{30}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{30}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{26}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{26}$
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的周期为 $T$, 且满足 $T>2 \pi$, 若函数 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 不单调, 则 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{3}{4}, 1\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{2}{3}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{4}{5}, 1\right)$
三棱椎$A-B C D$ 中, $A B=3, B C=B D=4 \sqrt{2}, \angle A B C=\angle A B D=\frac{\pi}{4}, \angle D B C=\frac{\pi}{3}$, 则直线 $A D$与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是
$\text{A.}$ $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$
$\text{B.}$ $\frac{4 \sqrt{29}}{29}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{29}}{29}$
已知三角形 $A B C$ 中, $B C=3$, 角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$, 若 $\frac{B D}{D C}=\frac{1}{2}$, 则三角形 $A B C$ 面积最大值
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
比较 $a=\frac{11}{10}-\frac{10}{11}, b=\ln 1.2, c=\frac{1}{5 \mathrm{e}^{0.1}}$ 的大小
$\text{A.}$ $a>c>b$
$\text{B.}$ $b>c>a$
$\text{C.}$ $b>a>c$
$\text{D.}$ $a>b>c$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a>b>c$, 且 $a b c=1$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $(a+c)^2>\frac{1}{b}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a-c} < \frac{1}{b-c}$
$\text{C.}$ $a^2>b^2$
$\text{D.}$ $\left(a^2 b-1\right)\left(a b^2-1\right)>0$
已知 10 个样本数据, 若去掉其中最大和最小的数据, 设剩下的 8 个样本数据的方差为 $s_1^2$, 平均数 $\overline{x_1}$ : 最大和最小两个数据的方差为 $s_2^2$, 平均数 $\overline{x_2}$ ：原样本数据的方差为 $S^2$, 平均数 $\bar{x}$, 若 $\overline{x_1}=\overline{x_2}$, 则
$\text{A.}$ 剩下的 8 个样本数据与原样本数据的中位数不变
$\text{B.}$ $\bar{x}=\overline{x_1}$
$\text{C.}$ 剩下 8 个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数
$\text{D.}$ $S^2=\frac{4}{5} s_1^2+\frac{1}{5} s_2^2$
已知函数 $f(x)=\cos 2 x+2|\sin x|$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增
$\text{B.}$ 直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[1, \frac{3}{2}\right]$
$\text{D.}$ 方程 $f(x)=a(x \in(0,2 \pi))$ 最多有 8 个根, 且这些根之和为 $8 \pi$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的中心为 $O, A, B$ 是 $C$ 上的两个不同的点且满足 $O A \perp O B$, 则
$\text{A.}$ 点 $O$ 在直线 $A B$ 上投影的轨迹为圆
$\text{B.}$ $\angle A O B$ 的平分线交 $A B$ 于 $D$ 点, $O D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{C.}$ $\triangle A O B$ 面积的最小值为 $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\triangle A O B$ 中, $A B$ 边上中线长的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\tan \alpha=2$, 则 $\sin 4 \alpha=$
若 $\left(x^2-x-3\right)^5=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{10} x^{10}$, 则 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=$
已知四棱椎的各个顶点都在同一个球面上. 若该球的体积为 $36 \pi$, 则该四棱雉体积的最大值是
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+m \sin x-\frac{1}{2} x^2-(m+1) x+1$, 在 $x=0$ 处取到极小值, 则实数 $m=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, 设 $c_n=\log _3 a_n$, 若数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n^2+n}{2}$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式:
(2) 记 $d_n=a_n \cdot\left(2 n^2+6 n+5\right)$, 求数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $c=2 a \cos A \cos B-b \cos 2 A$ $(A \leq B)$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $D$ 是 $B C$ 上的一点, 且 $B D: D C=1: 2, A D=2$, 求 $a$ 的最小值.
某单位组织知识竞赛, 有甲、乙两类问题. 现有 A, B, C 三位员工参加比赛, 比赛规则为: 先从甲类问题中随机抽取一个问题回答, 若回答错误则该员工比赛结束: 若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答, 无论回答正确与否, 该员工比赛结束. 每人两次回答问题的过程相互独立. 三人回答问题也相互独立. 甲类问题中每个问题回答正确得 20 分, 否则得 0 分;乙类问题中每个问题回答正确得 80 分, 否则得 0 分. 已知 $\mathrm{A}$ 员工能正确回答甲类问題的概率为 0.5 , 能正确回答乙类问题的概率为 $0.6 ; \mathrm{B}$ 员工能正确回答甲类问题的概率为 0.6 , 能正确回答乙类问题的概率为 $0.5: \mathrm{C}$ 员工能正确回答甲类问题的概率为 0.4 , 能正确回答乙类问题的概率为 0.75 .
(1) 求 3 人得分之和为 20 分的概率:
(2) 设随机变量 $X$ 为 3 人中得分为 100 的人数, 求随机变量 $X$ 的数学期望.
已知四棱椎 $S-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $S A \perp B D, S A=A D=\frac{\sqrt{2}}{2} C D, M$ 是 $S B$ 的中点.
(1) 证明: $M C \perp B D$;
(2) 若 $S A \perp A D, S A=2$, 点 $P$ 是 $S C$ 上的动点, 直线 $A P$ 与平面 $A M C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$, 求 $\frac{S P}{S C}$.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2, C$ 是椭圆的中心, 点 $M$ 为其上的一点满足 $\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right|=5,|M C|=2$.
(1) 求棚圆 $C$ 的方程;
(2) 设定点 $T(t, 0)$, 过点 $T$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 若在 $C$ 上存在一点 $A$, 使得直线 $A P$的斜率与直线 $A Q$ 的斜率之和为定值, 求 $t$ 的范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e} \frac{\ln x}{x}-\mathrm{e} a(x>0)$.
(1) 当 $a=1$ 时, 求函数 $g(x)=\mathrm{e}^{a x-1}-\frac{f(x)}{\mathrm{e}}+x-a$ 的单调区间:
(2) 证明: 当 $a < -\mathrm{e}^{-2}$ 时, 不等式 $f(x)>0$ 恒成立.