已知函数 $f(x)=\cos 2 x+2|\sin x|$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增
$\text{B.}$ 直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[1, \frac{3}{2}\right]$
$\text{D.}$ 方程 $f(x)=a(x \in(0,2 \pi))$ 最多有 8 个根, 且这些根之和为 $8 \pi$