已知四棱椎 $S-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $S A \perp B D, S A=A D=\frac{\sqrt{2}}{2} C D, M$ 是 $S B$ 的中点.
(1) 证明: $M C \perp B D$;
(2) 若 $S A \perp A D, S A=2$, 点 $P$ 是 $S C$ 上的动点, 直线 $A P$ 与平面 $A M C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$, 求 $\frac{S P}{S C}$.