欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$ 把自然对数的底数 $\mathrm{e}$ 、虚数单位 $\mathrm{i} 、$ 三角函数联系在一起, 充分体现了数学的和谐美. 已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂, 则 $\mathrm{i}^{\mathrm{i}}=$
A. $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}$
B. $\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}$
C. $\mathrm{e}^\pi$
D. $\mathrm{e}^{-\pi}$