单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
命题: $\exists x_0>0, x_0^2-x_0-1 \leqslant 0$ 的否定是
$\text{A.}$ $\exists x_0 \leqslant 0, x_0^2-x_0-1>0$
$\text{B.}$ $\forall x \leqslant 0, x^2-x-1>0$
$\text{C.}$ $\exists x_0>0, x_0^2-x_0-1 < 0$
$\text{D.}$ $\forall x>0, x^2-x-1>0$
已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}, A=\{1,2,3\}, B=\{3,4,5\}$, 则 $\complement_U(A \cup B)=$
$\text{A.}$ $U$
$\text{B.}$ $\{1,2,4,5\}$
$\text{C.}$ $\{3\}$
$\text{D.}$ $\varnothing$
若 $a>b>1,0 < c < 1$, 则
$\text{A.}$ $\log _a c>\log _b c$
$\text{B.}$ $\log _c a>\log _c b$
$\text{C.}$ $a^c < b^c$
$\text{D.}$ $c^a>c^b$
已知正项等比数列 $\left\{a_n\right\}$, 若 $a_3 a_5=64, a_5+2 a_6=8$, 则 $a_2=$
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ 32
$\text{C.}$ 48
$\text{D.}$ 64
" $\cos \theta=0$ " 是 “函数 $f(x)=\sin (x+\theta)+\cos x$ 为偶函数” 的
$\text{A.}$ 充分而不必要条件
$\text{B.}$ 必要而不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-2 x\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{7}{9}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{9}$
已知 $a=\frac{\ln 2}{2}, b=\frac{\ln 6}{6}, c=\frac{\ln 7}{7}$, 则
$\text{A.}$ $ c>b>a $
$\text{B.}$ $b>a>c$
$\text{C.}$ $b>c>a$
$\text{D.}$ $a>b>c$
若 $\frac{\mathrm{e}^x}{x}+a \ln x-a x+\mathrm{e}^2 \geqslant 0(a>0)$, 则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\mathrm{e}^2}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{\mathrm{e}^2}{2}\right]$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=\sin x+\sqrt{3}|\cos x|$, 则下列结论正确的为
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 的最小值为 -1
$\text{D.}$ $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递增
已知正 $n$ 边形的边长为 $a$, 内切圆的半径为 $r$, 外接圆的半径为 $R$, 则
$\text{A.}$ 当 $n=4$ 时, $R=\sqrt{2} a$
$\text{B.}$ 当 $n=6$ 时, $r=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
$\text{C.}$ $R=\frac{a}{2 \sin \frac{\pi}{2 n}}$
$\text{D.}$ $R+r=\frac{a}{2 \tan \frac{\pi}{2 n}}$
声音是由物体振动产生的声波, 其中包含着正弦函数. 纯音的数学模型是函数 $y=A \sin \omega t$, 我们听到的声音是由 纯音合成的, 称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 $f(x)=\sin \frac{1}{2} x-\frac{1}{2} \sin x$, 则当 $x \in[0,2 \pi]$ 时, 函数 $f(x)$ 一定有
$\text{A.}$ 三个不同零点
$\text{B.}$ 在 $[0, \pi]$ 上单调递增
$\text{C.}$ 有极大值, 且极大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ 一条切线为 $y=x$
已知函数 $f(x)=x^3+a x+\frac{1}{4},(a < 0)$, 其中 $A_i\left(x_i, y_i\right), i=0,1,2,3$ 是其图象上四个不重合的点, 直线 $A_0 A_3$ 为函数 $f(x)$ 在点 $A_0$ 处的切线,则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的图象关于 $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ 中心对称
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的极大值有可能小于零
$\text{C.}$ 对任意的 $x_1>x_0>0$, 直线 $A_0 A_3$ 的斜率恒大于直线 $A_0 A_1$ 的斜率
$\text{D.}$ 若 $A_1, A_2, A_3$ 三点共线, 则 $x_1+x_2=2 x_0$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
写出一个定义域为 $\mathrm{R}$ 且图象不经过第二象限的幂函数 $f(x)=$
设 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}, \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
已知定义域为 $\mathrm{R}$ 的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(1-2 x)=f(1+2 x)$, 且当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x$, 若将方程 $f(x)=\log _{n+1}|x|\left(n \in N^*\right)$ 实数解的个数记为 $a_n$, 则 $\frac{1}{a_1 a_2}+\frac{1}{a_2 a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n a_{n+4}}=$
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{n}+\ln m+3(m>1)$, 若曲线 $y=f(x)$ 的一条切线为直线 $l: 4 x-y+3=0$, 则 $\frac{m}{n}$ 的最小值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\cos ^2 \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x+m(\omega>0, m \in R)$.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 $f(x)$ 的解析式的两个作为已知.
条件①: 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$;
条件②: 函数 $f(x)$ 的图象经过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$;
条件③: 函数 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$.
(1) 求 $f(x)$ 的解析式及最小值;
(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[0, t](t>0)$ 上有且仅有 1 个零点, 求 $t$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的图象是由 $y=2 \cos \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到的.
(1) 若 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 求 $f(x)$ 图象的对称轴方程,与 $y$ 轴距离最近的对称轴的方程;
(2) 若 $f(x)$ 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 $\frac{2 \pi}{7}, \omega \in N^*$ 且 $\omega>2$, 求 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{9}\right]$ 上的值域.
已知函数 $f(x)=2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x+a \sin x$.
(1) 若 $a=2$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi, f(\pi))$ 处的切线方程;
(2) 若 $f(x)$ 在 $R$ 上单调递增, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n\left(S_n \neq 0\right)$, 数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_n$, 且满足 $S_n+T_n=S_n \cdot T_n\left(n \in N^*\right)$.
(1) 求证: $\left\{\frac{1}{S_n-1}\right\}$ 为等差数列;
(2) 记 $b_n=\frac{1}{n^2 S_n}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 2023 项的和 $M$.
在数字通信中,信号是由数字 “ 0 ”和 “ 1 ”组成的序列. 现连续发射信号 $n$ 次,每次发射信号“ 0 ”和“ 1 ” 是等可能的. 记发射信号 “ 1 ”的次数为 $X$.
(1) 当 $n=6$ 时,求 $P(X \leqslant 2)$;
(2) 已知切比雪夫不等式: 对于任一随机变量 $Y$, 若其数学期望 $E(Y)$ 和方差 $D(Y)$ 均存在, 则对任意正实数 $a$, 有 $P(|Y-E(Y)| < a) \geqslant 1-\frac{D(Y)}{a^2}$.根据该不等式可以对事件 “ $|Y-E(Y)| < a$ ” 的概率作出下限估计. 为了至少有 $98 \%$ 的把握使发射信号 “ 1 ”的频率在 0.4 与 0.6 之间, 试估计信号发射次数 $n$ 的最小值.
已知关于 $x$ 的方程 $a x-\ln x=0$ 有两个不相等的正实根 $x_1$ 和 $x_2$, 且 $x_1 < x_2$.
(1) 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $k$ 为常数,当 $a$ 变化时, 若 $x_1^k x_2$ 有最小值 $\mathrm{e}^{\mathrm{e}}$, 求常数 $k$ 的值.