已知函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的图象是由 $y=2 \cos \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到的.
(1) 若 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 求 $f(x)$ 图象的对称轴方程,与 $y$ 轴距离最近的对称轴的方程;
(2) 若 $f(x)$ 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 $\frac{2 \pi}{7}, \omega \in N^*$ 且 $\omega>2$, 求 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{9}\right]$ 上的值域.