湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷部分精选

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湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷部分精选

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

P

是边长为 2 的菱形

A B C D

内一点, 若

∠ B A D = 120^{\circ}

, 则

\vec{A P} \cdot \vec{A B}

的取值范围是

A.

(- 2, 4)

B.

(- 2, 2)

C.

(2, 4)

D.

(- 4, 2)

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2. 在数学中, 有一个被称为自然常数 (又叫欧拉数) 的常数

e \approx 2.71828

. 小明在设置银行卡的数字密码时, 打算将自然常数的前 6 位数字

2, 7, 1

8, 2, 8

进行某种排列得到密码. 如果排列时要求 2 不排第一个, 两个 8 相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为

A.

B.

C.

D.

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3. 如图, 直线

x = t

与函数

f (x) = \log_{4} x

和

g (x) = \log_{4} x - 1

的图象分别交于点

A, B

, 若函数

y = f (x)

的图象上存在一点

C

, 使得

△ A B C

为等边三角形, 则

t

的值为

A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B.

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

C.

\sqrt{3}

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

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4. 在平面直角坐标系中,

A (2, 0), B (0, 2)

. 以下各曲线: (1)

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1

; (2)

(x + 2)^{2} + y^{2} = 2

; (3)

y^{2} = 2 x

; (4)

x^{2} - y^{2} = 1

中, 存在两个不同的点

M

N

,使得

| M A | = | M B |

且

| N A | = | N B |

的曲线是

A.

(1)(2)

B.

(3)(4)

C.

(2)(4)

D.

(1)(3)

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

5. 已知函数

f (x) = | \sin x | + \cos x

, 则下述结论正确是

A.

f (x)

是偶函数

B.

f (x)

的周期是

π

C.

函数

f (x)

的图象关于直线

x = π

对称

D.

f (x)

的值域为

[- 1, \sqrt{2}]

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6. 已知函数

f (x) = \ln | x | - x + \frac{1}{x}

, 则下列说法正确的是

A.

f (x)

在

(0, + \infty)

上单调递减

B.

f (x)

恰有 2 个零点

C.

若

x_{1} \neq x_{2}, f (x_{1}) - f (x_{2}) = 0

, 则

x_{1} x_{2} ⩽ - 1

D.

若

x_{1} > x_{2} > 0, f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0

, 则

x_{1} x_{2} = 1

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 等差数列

{a_{n}}

满足

a_{2} = 6, a_{4} + a_{5} = 27

. 等比数列

{b_{n}}

为递增数列, 且

b_{1}, b_{2}, b_{3} \in {2, 3, 4, 5, 8}

.
(1)求数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

的通项公式;
(2) 删去数列

{b_{n}}

中的

b_{a_{4}}

项 (其中

k = 1, 2, 3, \dots

), 保持剩余项的顺序不变, 组成新数列

{c_{n}}

, 求数列

{c_{n}}

的前 10 项和

T_{10}

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8. 在四边形

A B C D

中,

A B / / C D, A D = B D = C D = 1

.
(1) 若

A B = \frac{3}{2}

, 求

B C

;
(2)若

A B = 2 B C

, 求

\cos ∠ B D C

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9. 受新冠病毒感染影响, 部分感染的学生身体和体能发生了变化. 为了了解学生的运动情况, 某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查. 调查的样本中高一年级有

70 %

的学生每周运动总时间超过 5 小时, 高二年级有

65 %

的学生每周运动总时间超过 5 小时, 高三年级有

56 %

的学生每周运动总时间超过 5 小时, 且三个年级的学生人数之比为

9 : 6 : 5

, 用样本的频率估计总体的概率.
(1) 从该校三个年级中随机抽取 1 名学生, 估计该学生每周运动总时间超过 5 小时的概率;
(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量

X

(单位: 小时), 且

X \sim N (5.5, σ^{2})

. 现从这三个年级中随机抽取 3 名学生, 设这 3 名学生中每周运动总时间为 5 至 6 小时的人数为

Y

, 求随机变量

Y

的期望.

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10. 已知函数

f (x) = e^{x} + \cos x - m x, x \in (0, + \infty)

.
(1) 若函数

f (x)

在

(0, π)

上单调递减, 求实数

m

的取值范围;
(2) 若

e^{\frac{π}{2}} - 1 < m < e^{π}

, 求证: 函数

f (x)

有两个零点. (参考数据:

e^{\frac{π}{2}} \approx

81, e^{π} \approx 23.14

)

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11. 在平面直角坐标系中,

M (- 3, 0), N (3, 0), P

为曲线

E

上一点, 直线

M P, N P

的斜率之积为

- \frac{5}{9}

.
(1)求曲线

E

的标准方程;
(2) 过点

F (2, 0)

作直线

l

交曲线

E

于

A, B

两点, 且点

A

位于

x

轴的上方, 记直线

M B, N A

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}

.
(1) 证明:

\frac{k_{1}}{k_{2}}

为定值;
(ii) 过点

B

作

B C

垂直

x

轴交曲线

E

于不同于点

A

的点

C

, 直线

A C

与

x

轴交于点

D

, 求

△ A D F

面积的最大值.

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