湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷部分精选-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=|\sin x|+\cos x$, 则下述结论正确是

$ \text{A.}$ $f(x)$ 是偶函数 $ \text{B.}$ $f(x)$ 的周期是 $\pi$ $ \text{C.}$ 函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称 $ \text{D.}$ $f(x)$ 的值域为 $[-1, \sqrt{2}]$

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答案：

ACD

解析：

$\because f(-x)=|\sin (-x)|+\cos (-x)=|\sin x|+\cos x=f(x), \therefore f(x)$ 为偶函数,故 A 正确;
$\because f(0)=1, f(\pi)=-1, \therefore f(x)$ 的周期不是 $\pi$, 故 B 错误;
$\because f(\pi-x)=|\sin (\pi-x)|+\cos (\pi-x)=|\sin x|-\cos x, f(\pi+x)=|\sin (\pi+x)|+\cos (\pi+x)=|\sin x|-\cos x$,
$\therefore f(\pi-x)=f(\pi+x)$, 所以函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称,故 $\mathrm{C}$ 正确;
当 $0 \leqslant x \leqslant \pi$ 时, $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right), \frac{\pi}{4} \leqslant x+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{5 \pi}{4},-1 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{2}$,
又由 $\mathrm{C}$ 选项知函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称, 故可知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的值戓为 $[-1, \sqrt{2}]$,
$\because f(x+2 \pi)=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 的值域为 $[-1, \sqrt{2}]$. 故 D 正确. 故选 ACD.

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