答案：
(1)如图, 在三角形 $A B D$ 中, 根据余弦定理可得,
$$
\cos \angle A=\frac{A B^2+A D^2-B D^2}{2 \cdot A B \cdot A D}=\frac{\frac{9}{4}+1-1}{2 \times \frac{3}{2} \times 1}=\frac{3}{4},
$$
由题得: $\angle A=\angle A B D=\angle B D C$, 所以 $\cos \angle B D C=\cos \angle A=\frac{3}{4}$,
在三角形 $B C D$ 中,根据余弦定理可得,
$B C^e=B D^2+C D^2-2 \cdot B D \cdot C D \cdot \cos \angle B D C=1+1-2 \times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$, 所以 $B C=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2) 设 $A B=2 B C=2 a$, 在三角形 $A B D$ 中, 根据余弦定理可得,
$\cos \angle A=\frac{A B^2+A D^2-B D^2}{2 \cdot A B \cdot A D}=\frac{4 a^2+1-1}{2 \times 2 a \times 1}=a$,
在三角形 $B C D$ 中,根据余弦定理可得,
$\cos \angle B D C=\frac{B D^2+C D^2-B C^2}{2 \cdot B D \cdot C D}=\frac{1+1-a^2}{2 \times 1 \times 1}=\frac{2-a^2}{2}$,
所以 $\frac{2-a^2}{2}=a$, 得: $a=\sqrt{3}-1$ 或 $a=-\sqrt{3}-1$ (含),
则 $\cos \angle B D C=\cos \angle A=a=\sqrt{3}-1$.