题号:6431    题型:解答题    来源:湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷部分精选
受新冠病毒感染影响, 部分感染的学生身体和体能发生了变化. 为了了 解学生的运动情况, 某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分 层抽样调查. 调查的样本中高一年级有 $70 \%$ 的学生每周运动总时间超 过 5 小时, 高二年级有 $65 \%$ 的学生每周运动总时间超过 5 小时, 高三 年级有 $56 \%$ 的学生每周运动总时间超过 5 小时, 且三个年级的学生人 数之比为 $9: 6: 5$, 用样本的频率估计总体的概率.
(1) 从该校三个年级中随机抽取 1 名学生, 估计该学生每周运动总时间 超过 5 小时的概率;
(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量 $X$ (单位: 小时), 且 $X \sim N\left(5.5, \sigma^2\right)$. 现从这三个年级中随机抽取 3 名学生, 设这 3 名学 生中每周运动总时间为 5 至 6 小时的人数为 $Y$, 求随机变量 $Y$ 的 期望.
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答案：
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三个年级的学生人数之比为 $9: 6: 5$, 设 1 份人数为 $a$,
所以高一年级每周运动总时间超过 5 小时的人数为: $9 a \cdot 70 \%=6.3 a$,
高二年级每周运动总时间超过 5 小时的人牧为: $6 a \cdot 65 \%=3.9 a$,
高三年级每周运动总时间超过 5 小时的人数为: $5 a \cdot 56 \%=2.8 a$,
因此该学生每周运动总时间超过 5 小时的概率为 $\frac{2.8 a+3.9 a+6.3 a}{5 a+6 a+9 a}=0.65$.


(2)因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量 $X$ (婵位:小时), 且 $X \sim N\left(5.5, \sigma^2\right)$, 所以 $P(X>5.5)=0.5$,
由 (1) 知, $P(X>5)=0.65$, 有 $P(5 < X < 5.5)=0.65-0.5=0.15$,
所以 $P(5 < X < 6)=2 P(5 < X < 5.5)=0.3$.
即该校茔生每周运动总时间为 5 至 6 小时的概率为 0.3 , 因此 $Y \sim B(3,0.3)$,
所以 $E(Y)=3 \times 0.3=0.9$.
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